1. Εις την μνήμην ενός νοήμονος μαθηματικού. [Μέρος Ι, Κεφ. 1]

Μετάβαση εις τα σχόλια:

Αρχικό...

Τελικό...

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

Το ξυλουργείο ως

μαθησιακός χώρος

της γεωμετρίας.

*  *  *

1. Εις την μνήμην

ενός νοήμονος μαθηματικού.

Δεν είμαι – μη νομίσετε – κανένας σπουδαγμένος...:

Ένας γέρο-ξυλουργός είμαι, με ...πτυχίο 4ης γυμνασίου.

Βεβαίως, ήμουν καλός εις τα μαθηματικά. Τόσο καλός που, μία μέρα, μου λέει ο καθηγητής μου:

«Εσύ, που τα παίρνεις τα μαθηματικά και, ιδίως, την γεωμετρία, να μάθεις μία τέχνη, και θα διαπρέψεις. –Κατά προτίμηση δε, την ξυλουργική.»

Συνέκρινα αυτήν την προτροπή προς την ανοησία (ατεχνία,... ατζαμοσύνη...) ορισμένων, άλλων καθηγητών, οι οποίοι, απευθυνόμενοι προς τους “κακούς μαθητάς”, έλεγαν:

«Εσύ, δεν τα παίρνεις τα γράμματα. –Να μάθεις μία τέχνη...»

Ίσως να ήμουν, εγώ, που είχα δώσει τα ερεθίσματα, διά να μου πει, ο καθηγητής μου, κάτι τέτοιο...:

Ενθυμούμαι, λόγου χάριν, ένα συμβάν, τότε που, αυτός, ο καλός δάσκαλος μας είχε αναφέρει τον ορισμό της ευθείας γραμμής συμφώνως προς την διατύπωση του Πλάτωνος:

«...Αυτή της οποίας, το μέσον, αποκρύπτει τα άκρα.»

Εις την προσπάθειά του να μας τον εξηγήσει, είχε πει το εξής (ευτράπελο) παράδειγμα:

«Όταν, αυτός, ο μαντράχαλος» (εννοούσε ένα ...Μήτσο, που είχε “μείνει” και δυο-τρεις χρονιές...), «“μπανίζει” καμμιά κοπέλα» (ήμαστε σε “σχολείο αρρένων”), «είναι, μερικές φορές, που απευθύνεται σε κάποιον άλλον και του λέει:

«Ρε, παρ´ την κεφάλα σου, απ´ τη μέση για να βλέπω...»

Έ, εκείνη τη στιγμή, τα μάτια του Δημήτρη, η «κεφάλα» του άλλου και το “μπανιζόμενο” σημείο κείνται επ΄ ευθείας.»

Το παράδειγμα αυτό, μου είχε φανεί, κάπως, ατυχές:

«Κύριε καθηγητά, εάν μου επιτρέπεται, νομίζω πως έχω καλλίτερη εξήγηση...:»

«Να την ακούσουμε...:»

«Ο πατέρας μου» (ήταν ξυλουργός και αυτός) «όταν θέλει να ελέγξει την ευθύτητα μίας τάβλας, βάζει το μάτι του κοντά σε μία ακμή της, την ΑΒ (δηλαδή, κοντά στην ευθεία που ορίζει αυτή η ακμή) και, κάπως μακρυά από το άκρο της Α που είναι κοντά στο μάτι του... Καθώς κοιτάζει την ακμή, η γωνία β, υπό την οποία στοχεύει το δεύτερο μισό της, το ΜΒ, είναι πολύ μικρότερη από την γωνία α, υπό την οποία στοχεύει το πρώτο μισό της, το ΑΜ. Λοιπόν, “μέσα” στην γωνία β, βλέπει μικρότερο το ΜΒ, από ότι, το ΑΜ, “μέσα” στην α.

Πλησιάζοντας το μάτι του στην ευθεία ΑΒ, έρχεται κάποια στιγμή που, ενώ βλέπει “ΑΜ”, δεν βλέπει “ΜΒ”. Ιδίως, δεν βλέπει “Β”. Δηλαδή, όλο το ΜΒ, έχει γίνει ένα σημείο, το Μ, πίσω από το οποίο κρύβεται ή, ...“μισοκρύβεται” το ΜΒ. Το Β, πάντως, κρύβεται εντελώς. Και επειδή κρύβεται πίσω από το Μ, λέει ο Πλάτων, αυτό...»

1η εικών:

Το τμήμα ΜΒ της ακμής της τάβλας, τ, φαίνεται υπό γωνία

πολύ μικρότερη από εκείνη υπό την οποία φαίνεται το ΑΜ.

Εάν η (κάθετη) απόσταση του οφθαλμού από την ΑΒ, γίνει

τόσο μικρή ώστε, το ΑΜ, μόλις που να φαίνεται,

το ΜΒ θα έχει, ήδη, εξαφανισθεί...

«Αν είναι έτσι», είπε ο καθηγητής μου, «τότε, επιβεβαιώνεται η άποψη ότι, ο ορισμός του Πλάτωνος, είναι πολύ εποπτικός...:

Ο ορισμός του Ευκλείδου που σας είπα είναι αυστηρότερος...

Ποιός τον θυμάται;»

Ουδείς έτεινε την χείρα, οπότε, απετόλμησα:

«Ευθεία γραμμή είναι ...αυτή, που... Αυτή που δεν φεύγει από τα ίσα της.»

Όλοι εγέλασαν εκτός του καθηγητού:

«Είπα, εγώ, αυτό;...»

«Όχι, κύριε. Το λέει ο πατέρας μου.»

Τότε, ο καθηγητής μου, είπε το εξής αναπάντεχο;

«Κι΄ εγώ, γιατί δεν το είπα;»

Κατόπιν, εστράφη προς εμέ:

«Θυμάσαι ότι έλεγα πως, ο Ευκλείδειος ορισμός, είναι, κάπως, “σκοτεινός” (για μερικούς, δε: “θεοσκότεινος”). –Έ, εσύ, θα πας, θα ρωτήσεις τον πατέρα σου, και θα έρθεις, εδώ, να μας τον “φωτίζεις”, εντελώς:

Πρόσεξε: Πρώτα, θα τον ρωτήσεις να σου εξηγήσει τι πάει να πει το «φεύγει απ΄ τα ίσα της» και, κατόπιν, θα του ζητήσεις να σου εξηγήσει τον ορισμό του Ευκλείδου... –Τον ορισμό,... τον θυμάσαι;»

«Όχι κύριε, τον ξέχασα.»

Αγρίεψε (προσποιητά).

«Δεν μπορείς να θυμηθείς ...έξι λέξεις;»

«Δεν είναι έξι, κύριε. Ήταν – θυμάμαι – πιο πολλές...»

«Έξι και ...ένα άρθρο – για να μη σου πω «έξι και ...ξερός»...:

Σου φάνηκαν πιο πολλές γιατί δεν ξέρεις ελληνικά... Τί ξέχασες; – μου λες; –Το «Ευθεία γραμμή εστίν ήτις...»; Πες: «Ευθεία γραμμή είναι αυτή που...» και σκέψου πώς θα το έλεγε ο Ευκλείδης... Και, λοιπόν, θα το βρεις.»

Ξερόβηξε και συνέχισε:

«Εκτός και αν δεν καταλαβαίνεις...: Αν, δηλαδή, δεν κατανοείς πως, ένας ορισμός της ευθείας, θα αρχίζει – κάπως – έτσι: «Ευθεία γραμμή εστίν ήτις...». Λοιπόν, άντε, προχώρει...»

Κοκκίνισα μέχρι τ΄ αυτιά. Εκείνος επέμεινε:

«Μήπως θυμάσαι τι είναι μετά από το «ήτις»; –Λοιπόν, θα πω, αυτό, το υπόλοιπο κι΄, εσύ, θα μου το πεις όλο ;»

Τελικώς, το είπα (με λίγη βοήθεια).

«Ευθεία γραμμή εστίν ήτις εξ ίσου τοις εφ΄ εαυτής σημείοις κείται.»

«Γράψ΄ τον, γιατί θα τον ξεχάσεις.»

(Αυτός, δεν μας τον είχε γράψει στον πίνακα διότι ...του είχαν γίνει συστάσεις να μη διδάσκει πράγματα “εκτός ύλης”... ή, μάλλον: “εκτός γραμμής”, καθόσον ,η “επίσημη γραμμή” (έκτοτε), ήτο ...η αοριστία. Εξ ης και η ...“μαρμάγκα” που τρώει τους ορισμούς...

Ο καθηγητής συνέχισε:

«Αυτά που θα σου πει ο πατέρας σου, θα τα κάνεις μία έκθεση (με δικό σου τρόπο) και θα την φέρεις.»

...

Η έκθεση που του πήγα έλεγε, περίπου, τα εξής:

Ορισμοί της ευθείας:

Ευκλείδειος ορισμός:

«Ευθεία γραμμή εστίν ήτις εξ ίσου τοις εφ΄ εαυτής σημείοις κείται».

Ξυλουργικός ορισμός:

«Ευθεία γραμμή είναι αυτή που δεν φεύγει από τα ίσα της».

«Τα ίσα της», είναι ιδιότητα των τμημάτων της ευθείας, μεταξύ των σημείων της, όπως θα γίνει κατανοητό εν συνεχεία.

Συμπέρασμα:

Ο “ορισμός” του ξυλουργού είναι, σχεδόν ο ίδιος με εκείνον του Ευκλείδου, διότι:

Ο Ευκλείδης λέει: «...κείται εξ ίσου...»,

ο ξυλουργός λέει: «...δεν κείται εξ “ανίσου”...»

Εδώ, ο καθηγητής μου, μου παρετήρησε ότι ο ορισμός του ξυλουργού περιέχει αρνήσεις – «πράγμα αποφευκτέο, για ένα ορισμό», όπως μου ετόνισε.

Του απήντησα ότι οι ξυλουργοί, συνήθως, δεν λέγουν αυτό αλλά, απλώς: «...αυτή, που πάει στα ίσα» και ότι, μόνον όταν «δεν πάει στα ίσα», λέγουν ότι «φεύγει από τα ίσα της» – συνήθως όταν, κάποιος (μαθητευόμενος, βοηθός κτλ), αποτυγχάνει να ελέγξει την ευθύτητα και διαλέγει (π.χ.) ένα καδρόνι ή, μία τάβλα, “στραβιά”:

Τότε, του λένε: «Δεν βλέπεις, ρε, ότι φεύγει από τα ίσα της;» και είναι σαν να του λένε: «Καλά,... την ευθύτητα δεν την βλέπεις (για να διαλέξεις μία ευθεία) αλλά, την στραβάδα δεν την βλέπεις για να μη μου φέρεις αυτήν, εδώ, την στραβή;...»

Σιώπησα επ΄ ολίγον και, έπειτα, παραδέχθηκα:

«Έτσι το είχα ακούσει, κι΄ εγώ, να μου το λέγει ο πατέρας μου και το είπα στην τάξη.»

Εις τα υπόλοιπα, ο καθηγητής μου, δεν είχε κάποια αντίρρηση (παρότι τα είχα γράψει ατελέστερα από αυτά που θα γράψω τώρα) εκτός από το ότι θεώρησε περιττό ένα σχήμα που είχα κάμει (αυτό που ακολουθεί)... Εγώ, το υπερασπίστηκα:

«Όχι, κύρε καθηγητά...: Γιατί, πολλοί, κάνουν κάτι γραμμές, σαν τις δύο πρώτες, και σου λένε: «έστω ευθεία»... Ε, δεν πρέπει να τους πεις να βάλουν το μάτι τους στον πίνακα και να τις ελέγξουν;...»

«Α, καλά λες», έκαμε, «μπορείς να μου το μεγεθύνεις;»

(Αργότερα έμαθα ότι το είχε κορνιζάρει και το είχε κρεμάσει εις το γραφείο των καθηγητών.)

2α εικών:

Έλεγχος: Ευθεία γραμμή, δεν είναι

ούτε η πρώτη ούτε η δευτέρα αλλά, η τρίτη...

Πώς εξετάζει ο ξυλουργός την ευθύτητα

ενός καδρονίου (ή, μίας τάβλας κτλ).

Όταν ο ξυλουργός εξετάζει αν ένα καδρόνι (κτλ) “φεύγει” (ή, δεν “φεύγει”) απ΄ “τα ίσα του”, αυτό που, επαακριβώς, κάμνει είναι το εξής:

Το “φέρνει” πλησίον του οφθαλμού του, ήτοι, το πιάνει από το άκρο του, το πλησιέστερο προς αυτόν (ενώ, το άλλο άκρο του, στηρίζεται κάπου) και το σηκώνει ώσπου, ο οφθαλμός του, να ευρεθεί σε πολύ μικρή (κάθετη) απόσταση από την ευθεία επί της οποίας ανήκει μία ακμή του και σε κάποια μεγαλύτερη απόσταση από άκρο που κρατάει.

Διά του οφθαλμού του εις αυτήν την θέσιν, ο ξυλουργός, κοιτάζει/εξετάζει την εν λόγω ακμή.

  3η εικών:

Ο ξυλουργός κοιτάζει εάν η

(εξεταζομένη διά την ευθύτητά της) ακμή της τάβλας

«κείται εξ ίσου τοις εφ΄ εαυτής σημείοις».

Αλλά, τί ακριβώς, είναι εκείνο που εξετάζει;

–Παρότι, ως γνωστόν, ο οφθαλμός του ανθρώπου “εστιάζει” επί ενός σημείου, το σημείο αυτό έχει κάποια έκταση:

–Είναι, ας πούμε, ένα μικρό κυκλάκι. Μέσα σ΄ αυτό το κυκλάκι, βλέπει και το κοντινό του άκρο, και το μακρινό, και τα ενδιάμεσα σημεία, χωρίς να μετακινήσει τον οφθαλμό του (μόνο που αλλάζει το βάθος της εστίασης).

Με τον ίδιο τρόπο, εξετάζει, και τα διαδοχικά ζεύγη σημείων (κοντυνότερο-μακρυνότερο ) που επιλέγει κατά μήκος της ακμής και τα ενδιάμεσά τους σημεία, μετατοπίζοντας καταλλήλως την εστίαση του οφθαλμού του καθ΄ όλο το μήκος της ακμής.

Τα εκάστοτε ενδιάμεσα σημεία πρέπει να “μη φεύγουν” ούτε προς τα δεξιά, ούτε προς τα αριστερά, ούτε πάνω-κάτω...

Εάν, κατά την διάρκεια αυτής της διαδικασίας, παρατηρήσει παρεκκλίσεις κάποιων σημείων, τότε, η ακμή, “φεύγει από τα ίσα της”, δηλαδή, “συμπεριφέρεται” ανισοτρόπως, ήτοι:

Δεν «κείται εξ ίσου τοις εφ΄ εαυτής σημείοις».

...

Όταν ο καθηγητής μου τελείωσε την ανάγνωση, είπε:

«Χμμμ... θα πρέπει να είναι πολύ εξασκημένος, κάποιος, για να ελέγχει “με το μάτι” την ευθύτητα ενός καδρονιού...»

«Αυτό είπα κι΄ εγώ... και, ο πατέρας μου, γελούσε...:

Μου είπε ότι αυτός ο έλεγχος, είναι προκαταρκτικός και ότι την πραγματική ευθύτητα την κατασκευάζει στην πλάνη – ένα μηχάνημα (θα το ...ξέρετε). Μου είπε ακόμη ότι, αυτή την ευθύτητα (την κατα-σκευασμένη), την ελέγχει με άλλο τρόπο...»

Κόμπιασα λίγο και συνέχισα:

«Αλλά, αυτός ο τρόπος, ήταν λίγο “ακαταλαβίστικος” και – πώς να πω; – Κάπως, “ταχυδακτυλουργικός”.»

«Μπορείς να μου τον πεις;»

«Χμμμ... Απ΄ όσο κατάλαβα και όσο θυμάμαι... παίρνει δύο καντρόνια πλανισμένα... τα κολλάει δίπλα-δίπλα και ...στουλάει το ένα καντρόνι πάνω στο άλλο... όπως, να πούμε, τρίβουμε τα χέρια μας: μπρός-πίσω... –Δεν κατάλαβα...»

Ο καθηγητής μου, απήντησε ως εξής:

«Αυτά που είπε ο πατέρας σου, δεν τα κατάλαβες διότι δεν γνωρίζεις το 2ον αίτημα του Ευκλείδου... Είναι ένα αίτημα που, κι΄ εγώ (μέχρι τώρα), απορούσα για την αναγκαιότητά του ή, μάλλον, για την συγκεκριμένη του διατύπωση...»

Κοιτούσα απορημένος...

«Α», έκαμε, «ξεχάστηκα: Δεν σου το είπα... Λοιπόν:»

Απήγγειλε, το αίτημα:

«Και πεπερασμένην ευθείαν κατά το συνεχές επ΄ ευθείας εκβαλείν.»

Κατόπιν, συνέχισε

«Γιατί, ο Ευκλείδης, λέει, πως η ευθεία «εκ/βάλεται» και όχι, «εκ/τείνεται, προ/εκ/τείνεται, επ/εκ/τείνεται κτλ» όπως λέμε εμείς;»

Εσκέφθη και είπε:

«Χμμμ....: Για τον Ευκλείδη, η ευθεία, είναι εκβλητή – όχι, εκτατή...: Εκ/βάλλεται σαν βλήμα, δεν εκ/τείνεται σαν λάστιχο... Πολύ ενδιαφέρον...»

Ξερόβηξε και συνέχισε:

«Και, είναι αλήθεια, διότι, όταν προσπαθώ να “επεκτείνω” μία ευθεία ΑΒ, σχεδόν πάντα, “στραβώνει”, ενώ, όταν ξεκινήσω από ένα σημείο της και κινήσω ταχέως την κιμωλία (σαν βλήμα), επάνω στην διεύθυνση “ΑΒ”, έχω πολύ καλλίτερο αποτέλεσμα... Το ίδιο και όταν θέλω να την φτιάξω: Ξεκινάω από το Α σημαδεύω το Β και βαράω...»

Δεν εννοούσα εντελώς παρότι είχα δει τα αποτελέσματά του τρόπου του εις τον πίνακα. (Αργότερα, ως τεχνίτης, έμαθα ότι εκείνα που περιέγραψε, σχετίζονται με αυτά που εις την την τεχνική ορολογία λέγονται: «παίρνω (την) περασιά (ΑΒ)» και «τραβάω ράμμα» (από το Α εις το Β), αντιστοίχω.)

Εν τέλει, μου είπε:

«Θα ήθελε, ο πατέρας σου, να του κάμω μία επίσκεψη; Θα με ενδιέφερε πολύ, αυτά, να τα πει και σε 'μένα.»

«Με μεγάλη του χαρά», απήντησα αμέσως...

        

Συνεχίζεται, εδώ...