7. Μία τετραγωνική ρίζα, φτιαγμένη με ...τετράγωνα. [Βιβλίο Ι, Κεφ. 7 (18/11/13)]

Μετάβαση εις τα σχόλια:

Αρχικό...

Τελικό...

7. Μία τετραγωνική ρίζα,

φτιαγμένη με ...τετράγωνα.

      Η επομένη φορά, ήτο η επομένη ημέρα... Υπέθεσα ότι η επίσπευση της επίσκεψης της καθηγητρίας ωφείλετο, εις την την εκκρεμμότητα που είχε μείνει (με τα τόσα άλλα που είχαμε πει) σχετικώς προς τα υπό κατασκευήν πολύεδρα. Το θέμα της κατασκευής της τετραγωνικής ρίζης, είχα λησμονήσει εντελώς, να το εξετάσω...
      Όταν μου το υπέμνησε, έλαβα αμέσως ύφος ...εισηγητού σεμιναρίου ...“και βάλε” (διά να καλύψω την έλλειψη προετοιμασίας):
      «Θα σας δείξω ένα μηχανισμό διά του οποίου επιτυγχάνεται η ακριβεστέρα και συντομοτέρα κατασκευή των ριζών... Μπορούμε δε να παρατηρήσουμε και – διά τί όχι; – να μετρήσουμε τις κινήσεις που είναι απαραίτητες ώστε να κάνουμε την σύγκριση αυτής της μεθόδου προς εκείνη που μου αναφέρατε.» (Το “ριπίδιο” της 48ης Εικόνος).
      «Αχ, μην επιμένετε τόσο με την ...«οικονομία» των μαθηματικών κινήσεων... Αυτές... δεν μας τις έχουν φορολογήσει, ακόμη...»
      Απήντησα ως εξής:
      «Ανεξαρτήτως “φορολογικού συστήματος”, θα πρέπει, ο μηχανισμός, να είναι σύμφωνος προς την “οικονομία” (χρόνου, κόπου, ακριβείας κτλ) ενός εργαστηρίου...»
      Ξερόβηξα και επέμεινα με έμφαση:
      «Όπως, «ευθεία», ονομάζουμε την συντομοτέρα γραμμή (ή, οδό) έτσι, θα έπρεπε και, να ονομάζουμε: «λύση», την συντομοτέρα διαδικασία διά της οποίας λαμβάνομε ένα ζητούμενο, αποδεικτέο ή, κατασκευαστέο κτλ...»
      Φαίνεται πως η “επιμονή” μου “επέδρασε”:
      «Δεν θα διαφωνούσα μαζί σας, αρκεί να το ορίσουμε...»
      Ενώ, εγώ είχα περιπέσει εις “βαθείαν περισυλλογήν”, εκείνη, περιέφερε, “κάπως” απλανώς, το βλέμμα της... ώσπου είπε:
      «Τον μηχανισμό όμως, δεν τον βλέπω...»
      «Χμμμ... Διά να πώ την αλήθεια... ούτ´ εγώ... –Δηλαδή, δεν τον βλέπω, όπως τον θέλω: –Άνευ χρήσεως διαβήτου...»
      Έφερα στο νου μου κάποιες παλαιότερες σκέψεις μου:
      «Θα προσπαθήσω να αξιοποιήσω ή/και να διαφοροποιήσω κάποια πράγματα που έχω, ήδη, εφαρμόσει, (ανα)συνθέτοντας τα όσα γνωρίζω... Αλλά, δυστυχώς, αυτά είναι ελάχιστα...»
      Επεχείρησε μία “φιλοφρόνηση”:
      «Ελάτε, μην γίνεστε μετριόφρων...»
      Αντιπαρήλθα την προσβολή (ποτέ δεν έχω διαπράξει την αθλιότητα της μετριοφροσύνης) και συνέχισα:
      «...Γνωρίζω όμως, να τα αξιοποιώ, τις γνώσεις μου, εις το έπακρον... Ιδού:
      Επειδή θέλω τμήματα ευθείας που να είναι τετραγωνικές ρίζες άλλων τμημάτων... τα αναζητώ εκεί όπου τα έχω δει να εμφανίζονται.
      Μπορείτε να περιμένετε επ΄ ολίγον;»
      «Εγώ,... όσο θέλετε... προς μεγάλη χαρά και των μαθητών μου που θα απαλλάσσονταν από το μάθημα αλλά – ξέρετε – ο διευθυντής μου, δεν είναι κάποιος που θα εκτιμούσε την επιστημονική δουλειά που κάνουμε εδώ...: Έχουμε δε να πούμε και για τα πολύεδρα...»
      Ήμουν σχεδόν βέβαιος ότι εμέμφθη τον προϊστάμενό της και ότι δεν ειρωνεύθη εμέ. Πάντως, ενήργησα με ...ταχύτητα “ταχυδακτυλουργού”. Εξήγγειλα αυτό που θα κατασκευάσω και, εντός ολίγου, το είχα πραγματοποιήσει:
      «Διά του μηχανισμού που θα φτιάξω, η τετραγωνική ρίζα θα κατασκευσθεί, «άνευ χρήσεως του διαβήτου»: Διά της αποκλειστικής χρήσεως του μηχανήματος που σας έδειξα, της “γωνιάστρας”.»
      «Θα χρησιμοποιήσετε μόνον τετράγωνα (όπως είπαμε);»
      «Ναι, τετράγωνα πλακίδια και μόνον μοναδιαία – εάν, βεβαίως, το τμήμα μ, του οποίου θέλουμε την ρίζα, είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μοναδιαίου, π.χ.: μ = 5.»
      Προς μεγάλη και ευχάριστη έκπληξή μου, άρχισε να ομιλεί ...“μαστορογεωμετρικώς”:
      «Δηλαδή, θα κολλήσετε τα 5 τετράγωνα πλακίδια; –Και, για το κόλλημα, έχετε κάποιο αίτημα που να το εξασφαλίζει;»
      «Δεν χρειάζεται: Η δυνατότητα “κολλάει-ξεκολάει” είναι κοινώς αποδεκτή. Την χρησιμοποιούμε (π.χ.) όταν “κολλάμε-ξεκολλάμε” τον κανόνα επί του επιπέδου σχεδιάσεως.»
      «Και την ευθυγράμμιση, δηλαδή, την ταύτιση των κολλημένων εδρών των πλακιδίων, πώς την επιτυγχάνετε; –Με το μάτι;»
      «Η ταύτιση των εδρών δύο πλακιδίων, Π₁ και Π₂, συνεπάγεται ότι, οι ακμές αμφοτέρων οι κάθετες επί την κοινή τους έδρα θα είναι ομοευθειακές. Αυτό επιτυγχάνεται διά της χρήσεως ενός “οδηγού”, Ο, ο οποίος δεν είναι άλλος από ένα κανόνα κολλημένο σε ένα επίπεδο (Π). Ως επίπεδο και ως κανόνα χρησιμοποιώ δύο (άλλα) μοναδιαία πλακίδια, όπως θα σας δείξω:   

59η εικών:

Οι έδρες ε₁ και ε₂, των (ημιδιαφανών) πλακιδίων Π₁ και Π₂,

έρχονται εις ταύτισιν, τη βοηθεία του “γκρι” επιπέδου (Π)

και του (ημιδιαφανούς) “κόκκινου” οδηγού Ο

ο οποίος είναι κολλημένος επί του (Π).

      Με αυτόν τον τρόπο, μπορώ να κατασκευάσω οποιοδήποτε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο του οποίου οι πλευρές να είναι πολλαπλάσια της ακμής του μοναδιαίου.»
      «Αυτό, που μόλις μου δείξατε,... είναι μέρος κάποιας θεωρίας;», έκαμε όταν το είδε.
      «Μπορείτε να το πείτε κι΄ έτσι. Και, είναι (όντως) μεγάλη...»
      «Χμ, ελπίζω να την μάθω, κάποτε... Αλλά, τώρα, πείτε μου: εάν θέλω την τετραγωνική ρίζα ενός τυχόντος τμήματος μ, τί γίνεται;»
      «Θα σας πω ότι, εσείς που θέλετε την ρίζα του μ, εσείς πρέπει να μου το δώσετε: Π.χ., να μου δώσετε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (πηχάκι) του οποίου η επιμήκεις ακμές να είναι ίσες προς το μ...»
      «Όχι ένα τμήμα ευθείας, ίσο προς το μ;»
      «Αγαπητή μου, το μ, πρέπει να είναι υλοποιημένο... Τέλος πάντων, ας πούμε ότι, αυτό που θα φτιάξω, τώρα, συνιστά την υλοποίηση ενός μ που μου δώσατε εσείς:»
      Το έφτιαξα πάραυτα και, εντός ολίγου, είχα κατασκευάσει ένα “μηχανισμό” τον οποίον παρουσίασα με στόμφο:
      «Ιδού, ο “περίφημος” μηχανισμός:»
      (Πάντως, η εντύπωση που της προεκάλεσε, δεν οφείλεται (νομίζω) εις την στομφώδη παρουσίαση.)
      Άρχισα να της εξηγώ τα στοιχεία του μηχανισμού:

      Α: Ακίνητα Μέρη:
      Ε: Επίπεδος φορέας καταλήγων εις ευθείαν ΕΕ΄.
      Α: Αρχικό σημείο (“υπερυψωμένο”), επί της ΕΕ΄.
      Λ₁: Ισοπλατής λωρίς μοναδιαίου πλάτους, της οποίας η μία πλευρά, η λ₁, κείται επί της ΑΑ΄, ήτοι, επί της διά του Α καθέτου επί την ΕΕ΄ και, η άλλη, η λ₁΄, εντός της ορθής γωνίας (ΑΑ΄, ΕΕ΄).
      Λ₂: Ισοπλατής λωρίς μήκους μ, της οποίας η μία πλευρά, η λ₂, κείται επί της ΕΕ΄, και, η άλλη, η λ₂΄, εντός της γωνίας (ΑΑ΄, ΕΕ΄).
      Το ένα άκρο της  λ₂ ταυτίζεται προς το Α ενώ, εις το άλλο άκρο της τοποθετείται το Τ, ήτοι:
      Τ: Τελικό σημείο (“υπερυψωμένο”).
     
      Β:  Κινούμενα μέρη:
      ΓΚΓ΄: Κινητή, ορθή γωνία της οποίας:
      Η πλευρά ΚΓ ευρίσκεται εν επαφή προς το Α.
      Η πλευρά ΚΓ΄ ευρίσκεται εν επαφή προς το Τ και
      Η κορυφή της, Κ, είναι “βυθισμένη” (κάτωθεν της κάτω επιφανείας τής ΓΚΓ΄).

      60η εικών:

Μηχανισμός κατασκευής της τετραγωνικής

ρίζης παντός τμήματος ευθείας, μ,
υλοποιημένου δι΄ ενός επιμήκους
ορθογωνίου παραλληλογράμμου μήκους μ.

 

      Κατόπιν όλων αυτών των επεξηγήσεων, είπα θριαμβευτικά:
      «Όταν το Κ ευρεθεί επί της λ₁΄, τότε, το ΑΚ, θα είναι η τετραγωνική ρίζα του μ.»
      Όταν τοποθέτησα προσεκτικά ένα μολύβι εις το σημείο Κ της γωνίας και μετά πολλών κόπων και διορθωθέντων σφαλμάτων έγραψα ένα ημικύκλιο δεν φανταζόμουν το πώς θα το εξελάμβανε η φίλη μου:
      Σημείωσε με το δάκτυλό της ένα σημείο, επί της ΕΕ΄ και είπε:
      «Το Λ₁Η είναι το ύψος του τριγώνου ΚΑΤ, άρα, το τρίγωνο ΗΑΚ είναι ορθογώνιο. Το ίδιο και το τρίγωνο ΚΑΤ, διότι, η γωνία  ΤΚΑ, είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο. Τα δύο αυτά τρίγωνα, είναι και όμοια διότι έχουν την γωνία ΚΑΤ κοινή. Επομένως:
      ΑΚ/ΑΗ = μ/ΑΚ, άρα:
      ΑΚ² = ΑΗ·μ.
      Αλλά  ΑΗ = 1, οπότε:
      ΑΚ² = μ ή, ΑΚ = √μ.»

           

61η εικών:
Εκ των ομοίων τριγώνων ΚΑΤ και ΗΑΚ
(ΚΗ, το ύψος του ΚΑΤ, κείμενο επί της λ₁΄)
      έπεται ότι: ΚΑ² = ΑΗ·ΑΤ ή, ΚΑ² = 1·μ.

      Τόσην ώρα, την κοιτούσα με ένα τρόπο... που την έκαμε να πει:
      «Βεβαίως, θα την γνωρίζετε την απόδειξη αλλά, εγώ δεν ήμουν σίγουρη...: Αφού, σας είδα και φτιάξατε τον κύκλο... Και, πάντως, μη την απαξιώνετε.»
      «Δεν την απαξιώνω: Μου προκαλεί αλλεργία...»
      «...Όμως, άλλα μου λέγατε, για τις αποδείξεις...»
      «Ό..., όχι η «απόδειξη», ως έννοια αλλά, αυτή, ειδικώς...»
      «Δεν καταλαβαίνω... Όμως, μη μου πείτε ότι όλο αυτό τον μηχανισμό, τον επινοήσατε μόνον και μόνον για να κάνετε κύκλους χωρίς διαβήτη... Σας είδα, μάλιστα, και πόσο παιδευτήκατε...»
      «Θα σας πω, ακριβώς, αυτό...(που είπατε) Και, δεν συνιστά κάποια... «επινόηση» αλλά, απλή εφαρμογή του γνωστού γεωμετρικού τόπου των σημείων από τα οποία, ένα ευθύγραμμο τμήμα (εδώ, το ΑΤ), φαίνεται υπό δοθείσα γωνία (εδώ, ορθή)... Το δε «παίδεμα», οφείλεται εις ατέλεια του μηχανισμού – μη ξεχνάτε ότι, προηγουμένως, τον χρησιμοποιήσαμε δι΄ άλλο σκοπό.»
      Πήρα ένα χαρτονάκι και το έκοψα – κάπως προσεκτικά – όπως φαίνεται εις το σχήμα που ακολουθεί, το εφάρμοσα επί δύο λεπτών ήλων και της έδωσα τις επεξηγήσεις που συνοδεύουν την εικόνα:
     

     

62α εικών:
Εάν, εντός της οπής Ο, τοποθετήσουμε μία γραφίδα
τείνοντας, δι΄ αυτής, το χαρτονάκι
προς την κατεύθυνση του βέλους,
(εν όσω, αυτό, ευρίσκεται εν επαφή προς του ήλους Η₁ και Η₂)
γράφουμε τόξο κύκλου.

      Όταν το είδε η μαθηματικός, (ανερωτήθη και) ερώτησε:
      «Καλά... Και, δεν σας κάνει ο διαβήτης, για τους κύκλους;»
      «Ε, όχι πάντοτε: Αυτό θέλω να σας πω τόσην ώρα...:»
      Κατέβασα από το ράφι ένα μηχανηματάκι χειρός, που το λένε «ρούτερ», της το έδειξα (βλέπε επομένη εικόνα) και, κατόπιν, συνέχισα:
     
     

63η εικών:
Όταν πιέσουμε το “ρούτερ” προς τα κάτω, το κοπτικό εργαλείο,
αρχίζει να κόβει προς την κατεύθυνση που θα το κινήσουμε.
Πηγή: http://en.wikipedia.org/wiki/Router_%28woodworking%29

      «Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία επιφάνεια την οποία θέλουμε να κόψουμε ή, να χαράξουμε σε σχήμα κύκλου ή, κυκλικού τόξου.
      Μπορώ να πάρω ένα ταβλάκι, φέρον οπή κατά το ένα άκρον του διά της οποίας να διέρχεται το κοπτικό εργαλείου του “ρούτερ”. Το άλλο άκρο του μπορώ να το καρφώσω εις την επιφάνεια αυτή.»
      «Να φτιάξεις, δηλαδή, ένα διαβήτη...»
      «Ναι, αλλά στο σημείο που θα καρφώσω, η επιφάνεια, θα βλαφθεί, δηλαδή, θα προκαλέσω “μερεμέτι”. Ενδεχομένως δε, να μη μπορώ ούτε να καρφώσω ούτε να “μερεμετήσω”, κατόπιν: Π.χ., τί θα κάνω όταν κόψω ένα πλέξι-γκλας; Πώς, θα “βουλώσω” την τρύπα που θα έχω κάμει εις το κέντρο; –Εδώ ευρίσκει εφαρμογή ο γεωμετρικός τόπος που σας έλεγα.»
      Η φίλη μου εξέφρασε την έκπληξή της:
      «Ποτέ δεν θα μπορούσα να φανταστώ πως μία γεωμετρική γνώση θα είχε μία τέτοια εφαρμογή...»
      «Ούτε κι΄ εγώ, προτού να ασχοληθώ με την ξυλουργική τέχνη.»
      Ενδιεφέρθη περαιτέρω:
      «Ναι αλλά, αυτόν τον μηχανισμό, δεν τον έχετε φτιάξει;...»
      «Χμμμ... Τον έχω δανείσει σε κάποιον... ένα συνάδελφό μου... ο οποίος αντιμετωπίζει, την γεωμετρία, “προικοθηρικώς”... (Ειδεμή θα τον είχε φτιάξει και αυτός...) Θα σας κάμω όμως, μία αναπαράσταση με όσα μέσα διαθέτω:»
      Έφτιαξα κάτι χειρότερο από αυτό της εικόνος αλλά, κατανοητό:

           

64η εικών:
Εάν εις την κορυφή Κ της μεταβλητής γωνίας φ,
θέσουμε ένα κοπτικό εργαλείο,
καθώς αυτή κινείται (κατά την διεύθυνση του βέλους),
το εργαλείο θα κόψει την πλάκα Π, κατά ένα τόξο κύκλου,
το κέντρο του οποίου, δεν είμαστε υποχρεωμένοι
να το κατασκευάσουμε, επί της Π
 (ώστε, αυτή, μένει ανέπαφη).

      Όταν τελείωσαν αυτά, η φιλοξενουμένη μου ενεθυμήθη:
      «Αλλά, γιατί είπατε πως «αυτή η απόδειξη» σας προκαλεί αλλεργία;»
      Της διηγήθηκα το επεισόδιο εξ αιτίας του οποίου λέγουν, περί εμού ότι: «μετράω πλακωμένο κύκλο» (Βλέπε κεφάλαιο με τίτλο: «4. Ο καταπλακωμένος κύκλος»).
      ...
      Αφού άκουσε με υπομονή την διήγηση (και – φαντάζομαι πως – θα έπαψε να με θεωρεί ...“μετριόφρονα”) επανήλθε εις το θέμα μας:
      «Μετά από όλα αυτά, η κατασκευή της δίεδρης γωνίας του κανονικού 4-έδρου είναι κατασκευάσιμη – έτσι δεν είναι;»
      Η ερώτηση ήταν του ...αγγλικού είδους («isn’t it»), από εκείνες που δεν αναμένεις, ως απάντηση, ένα ξερό και έντονο:
      «Όχι. –Γιά μένα, όχι.»
      «Πώς όχι; Αφού είπαμε ...τόσα, για το πως ευρίσκεται τη τετραγωνική ρίζα κτλ. Άρα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:
      ημ(φ/2) = √3/3.»
      Απήντησα ως εξής:
      «Σας είπα – νομίζω – ότι (παραδέχομαι πως) δεν δικαιούμαι να τον χρησιμοποιήσω... Το θεωρώ, κατά κάποιον τρόπον, ανέντιμο, ενόσω όσω δεν γνωρίζω τον τρόπο της απόδειξής του.»
      «Το θυμάμαι...», είπε. «Αλλά, νόμιζα ότι δεν θέλατε να τον εξετάσουμε... Ω,... ω, Δεν θέλησα να σας προσβάλλω...»
      Το τελευταίο το είπε ως αν ήθελε να προλάβει κάποια “άγρια” αντίδρασή μου, οπότε, αισθάνθηκα πως έπρεπε να απολογηθώ:
      «Κοιτάξετε, αγαπητή φίλη:
      Εσείς είσθε ευγενεστάτη, εν αντιθέσει προς εμέ που είμαι, μάλλον, εριστικός ή/και χλευαστικός... Όμως (σας είπα ότι) με ενοχλεί αφάνταστα το να με νομίζουν ως αμαθέστερο αυτού που είμαι... ή, ως αρνησιμαθή. Ιδίως επειδή, εγώ, ασκώ αυτήν την τέχνη όχι μόνο διά να ζω αλλά, και διά να μαθαίνω...»

  

        

Συνεχίζεται, εδώ...