ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Εις αυτό το blog, η διαδοχή των αναρτήσεων είναι εκ της παλαιοτέρας προς την πρόσφατη (αντιστρόφως του συνήθους), ώστε, το αφήγημα, να διαβάζεται σαν βιβλίο. Εννοείται ότι, διά να εμφανισθούν τα επόμενα κεφάλαια, θα πρέπει να “κλικάρετε” το «Older Posts».
ΛΟΙΠΕΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΙΣ ΚΤΛ... μπορείτε να δείτε “κλικάροντας” εδώ.

6. Πέραν της (σχολικής) γεωμετρίας.
[Μέρος Ι, Κεφ. 6 (15/11/13)]


Μετάβαση εις τα σχόλια:
Τελικό...
6. Πέραν της (σχολικής) γεωμετρίας.
 
       Κατόπιν των εξηγήσεων εις το τέλος του προηγουμένου κεφαλαίου, μπορούμε να περιγράψουμε με “κάποια άνεση” όσα συνέβησαν εκείνο το πρωϊνό που, σχεδόν, έγινε μεσημέρι.
...
«Αντιλαμβάνομαι», είπε η συνομιλήτριά μου, «ότι το πρώτο που χρειάζεται είναι να βρούμε τις δίεδρες γωνίες όλων των κανονικών πολυέδρων.»
«Βεβαίως.»
«Αυτές, δεν είναι ανάγκη να είναι και απολύτως ακριβείς, διότι δεν θα χρησιμοποιήσουμε “τελάρα” (οπότε, η ανακρίβεια, δεν θα τους επέτρεπε να συγκολληθούν επιτυχώς – όπως μου εξηγήσατε)...»
«Όπως σας εξήγησα, η ανακρίβεια, θέτει εν αμφιβόλω την επαγγελματική μου υπόσταση...»
Μ΄ εκοίταξε, έτοιμη να μου πει (πάλιν) πως είμαι «λιγάκι υπερβολικός». Την πρόλαβα:
«Εάν κάποιος, θέσει ένα πλανισμένο πηχάκι επί μίας έδρας ενός εκ των κανονικών πολυέδρων που θα κατασκευάσω, αμέσως, θα διαπιστώσει το αν, οι ακμές του είναι ή, όχι, ακμές σωστής γωνίας...»
«Λοιπόν», εξακολούθησε, «ας αρχίσουμε από το πρώτο... που είναι το κανονικό 4-εδρο.»
Είπε: «το πρώτο» και όχι: «το εύκολο» και δεν θεώρησε ως «πρώτο», το κανονικό 12-εδρο το οποίο είχαμε, ήδη, αρχίσει να εξετάζουμε... Βεβαίως, το 4-εδρο, είναι “πρώτο” υπό την έννοια ότι έχει το μικρότερο πλήθος εδρών (και ακμών/κορυφών) αλλά, εμένα μου φάνηκε ως ένας εύσχημος τρόπος ώστε να ...αρχίσουμε από τα “εύκολα”... Αν είναι έτσι, επέδειξε αυτό που λέμε: «διακριτικότητα» και που ποτέ δεν εννόησα τι σημαίνει, ακριβώς...
Εν τω μεταξύ, η φίλη καθηγήτρια, είχε επιδοθεί εις την σχεδίαση ενός ...πολύ “περιποιημένου” σχήματος του 4-έδρου:

45η εικών:
Ένα 4-εδρο και η δίεδρος γωνία του, φ.
 
Όταν το ολοκλήρωσε, είπε – χωρίς ίχνος δισταγμού, αυτή τη φορά:
«Έχω τον τύπο του ημιτόνου της φ/2. Είναι ο εξής:
ημ(φ/2) = √3/3.»
«Πολύ ωραία», έκαμα:
Εκείνη – πάλι χωρίς ίχνος δισταγμού – είπε:
«Γνωρίζω... δηλαδή, θυμάμαι ότι μου είπατε πως ... δεν “επιτρέπετε” εις τον εαυτό σας να τον χρησιμοποιήσει εάν δεν γνωρίζετε την απόδειξη...»
Μ΄ εκοίταξε ενθαρρυντικά και συνέχισε:
«Αυτό, είναι κάτι που τακτοποιείται. Μπορώ, εάν μου το επιτρέπετε να σας βοηθήσω.»
«Όχι μόνον σας το «επιτρέπω» αλλά, και το απαιτώ... εάν, βεβαίως, μου χρειαστεί.»
«Πάντως», συνέχισε σταθερά, «αυτό που, τώρα, πρέπει να δούμε είναι το τι θα κάνατε εάν επιτρέπατε στον εαυτό σας να χρησιμοποιήσει τον τύπο.»
Παίρνοντας “χαμπάρι που το πήγαινε” (πράγματι) ενοχλήθηκα:
«Δεν ξέρετε εάν μπορώ να φτιάξω ένα τρίγωνο ΑΒΓ, ορθογώνιο στο Α, του οποίου, η ΑΒ να είναι ίση προς √3 και η ΑΒ ίση προς √6;»
Καθώς τα έλεγα, σχεδίαζα επακριβώς και το αντίστοιχο σχήμα:




46η εικών:
Η γωνία ΒΓΑ είναι η ημίσεια της (επιπέδου) γωνίας,
της αντιστοίχου της διέδρου του κανονικού 4-έδρου.

Η καθηγήτρια “εντυπωσιάστηκε” εξ αιτίας αυτού που μου είπε:
«Πώς βρήκατε, αμέσως, την πλευρά ΑΓ του τριγώνου, την √6;»
«Με ειρωνεύεσθε; Αφού, ημ(φ/2) = √3/3, τότε: (√3)2 + ΑΓ2 = 32 (πυθαγόρειο θεώρημα). Ε, αυτό γράφεται: (√3)2 + (√6)2 = 32. Η κατασκευή του ΑΒΓ από τις κάθετες (μεταξύ των) πλευρές, είναι ευκολότερη: Παίρνεις ένα χαρτί γωνιασμένο και τις ορίζεις...»
«Αλλά... τις ρίζες, πώς τις βρήκατε; Τις θυμόσαστε απ΄ έξω;»
«Τις √2 (1,414...), √3 (1,732...) τις χρησιμοποιώ διαρκώς: Είναι διαγώνιοι του τετραγώνου και του κανονικού εξαγώνου, αντιστοίχως. Το √6 (2,45...), αν το λησμονήσω, προκύπτει από το πολλαπλασιασμό τους: Ευκόλως πολλαπλασιάσεις το 17 (1,732) επί το 14 (1,414) – για το σχήμα, εδώ, είναι πολύ καλή αυτή η προσέγγιση...»
«Χμμμ...», έκαμε, «αυτό, το εφαρμόζετε πάντα; Όποια και νά 'ναι η υποτείνουσα του τριγώνου;»
Την διέκοψα αποτόμως διότι ...απεχθάνομαι την ακυριολεξία:
«Είπατε «υποτείνουσα του τριγώνου»; –Τί είναι αυτό;»
«Έ», διευκρίνισε, «εννοούσα, προφανώς, του «ορθογωνίου τριγώνου»: Την πλευρά α, που είναι απέναντι στην ορθή γωνία...: Μήπως εσείς, με ειρωνεύεσθε, τώρα;»
Απήντησα κατά τρόπον διδακτικόν:
«Η α είναι υποτείνουσα της ορθής γωνίας αλλ´, όχι, υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.»
Φάνηκε πως ... θα έπρεπε να της το κάνω “λιανά”:
« Όλες οι πλευρές ενός τριγώνου υποτείνουν τις απέναντι γωνίες τους (έτσι το λέγει κι΄ο Ευκλείδης)... ανεξαρτήτως του αν, αυτές οι γωνίες, είναι ορθές, οξείες ή, αμβλείες . Όλες, λοιπόν, οι πλευρές ενός τριγώνου, είναι υποτείνουσες γωνιών... Όχι όμως, υποτείνουσες τριγώνου:
Ένα τρίγωνο δεν ...υποτείνεται. Άρα...:»
Τόνισα με έμφαση την τελευταία φράση:
«Ουδέν τρίγωνο, έχει υποτείνουσα.»



47η εικών:
Η πλευρά ΒΓ, του τριγώνου ΑΒΓ, υποτείνει την γωνία ΒΑΓ.
Μου “απήντησε” ως εξής:
«Ούτε και διχοτομείται, ένα τρίγωνο. Όμως, λέμε ότι έχει διχοτόμους...»
«Αγαπητή μου, δύο σφάλματα δεν κάμνουν ένα ορθό...:
Η διχοτόμος της γωνίας ενός τριγώνου, δεν γίνεται και ...“διχοτόμος του του τριγώνου”, όπως δεν γίνεται “μέσον του τριγώνου”, το μέσον μίας πλευράς του...»
Εσκέφθη και συγκατένευσε:
«Πράγματι, έχετε δίκιο. Αλλά, το λέμε: «οι διχοτόμοι του τριγώνου»... (ίσως) χάριν συντομίας, ιδίως όταν θεωρούμε τις διχοτόμους όλων των γωνιών του. Π.χ., λέμε «το κοινό σημείο των διχοτόμων του τριγώνου.» Όταν πρόκειται για την διχοτόμο μίας γωνίας (π.χ.) της Α, το λέμε συγκεκριμένα: «Η διχοτόμος της Α».»
«Χα, χα, χα», εγέλασα επιδεικτικά: «Μα, αν δεν λέγατε: «...της Α», ο άλλος, θα μπορούσε να εννοήσει: «...της Β» ή: «...της Γ». Είναι όμως σαν να μου λέτε πως, όταν ομιλείτε ειδικώς, περί της ...φουντωτής ουράς της γάτας σας της ...Ριρίκας, λέτε «η ουρά της Ριρίκας», ενώ, όταν μιλάτε γιά τις ουρές όλων των γατών σας, λέτε «οι ουρές μου»...»
«Δεν έχω γάτες», έκαμε με “χάρη”, οπότε, θεώρησα το θέμα λήξαν και επανέφερα το προηγούμενο:
«Βεβαίως, παρά την, προηγουμένη, “μπακάλικη” χρήση των ριζών εκκρεμεί η γεωμετρική κατασκευή τους – έτσι δεν είναι:»
«Ε, αυτό, είναι εύκολο, εδώ που έχουμε: √3 και √6... – Όχι σαν, εκείνο, το υπόρριζο του τύπου του 12-έδρου...»
«Τις ρίζες, ή, ξέρεις να τις κατασκευάζεις ή, δεν ξέρεις...»
Διεφώνησε και, δη, κατά τρόπο, που έδειχνε ότι αμφισβητούσε την δυνατότητά μου να κατασκευάζω τις τετραγωνικές ρίζες:
«Μα τί λέτε; Ίδιο είναι να κατασκευάζεις την τετραγωνική ρίζα φυσικών αριθμών (όπως αυτών που έχουμε, εδώ) και ίδιο, ενός αθροίσματος, ρητού και αρρήτου όπως ο αριθμητής του, εν λόγω, τύπου;»
Έγραψε εκ νέου τον τύπο:


Συνόψισε στο νου της τα όσα είχαν μεσολαβήσει και είπε:
«Ας βεβαιωθούμε όμως, ότι μιλάμε για την ίδια μέθοδο εύρεσης των τετραγωνικών ριζών:»
Σχεδίασε (κάπως πρόχειρα) το γνωστό “ριπίδιο” που είχα δει σε πολλά βιβλία, πράγμα που προεκάλεσε ένα, νέο, ειρωνικό μου σχόλιο:




48η εικών:
Μία επαναληπτική μέθοδος διά της οποίας μπορούμε
να εύρομε τις τετραγωνικές ρίζες των φυσικών αριθμών, ν...
όσων μας επιτρέψει η ...βραχύτης του βίου μας, καθόσον,
διά την εύρεση της ρίζης του ν, απαιτούνται ν-1 τρίγωνα.

«Εάν θέλαμε να βρούμε την τετραγωνική ρίζα του 55 ή, ...του 666, θα επαναλαμβάναμε αυτό που μου δείξατε... μέχρι που να φθάσουμε εις το ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ίσες προς το 1 και την τετραγωνική ρίζα του 665; –Μα,... όλο αυτό, και μόνον διά να το απαγγείλεις, θα φας ένα πρωϊνό. Η δε ακρίβεια, θα πάει “περίπατο”, αφού, κάθε κατασκευή, “κουβαλάει” τα σφάλματα της προηγουμένης της.»
«Αυτά», έκαμε κάπως ενοχλημένη, η καθηγήτρια, «είναι προβλήματα σχεδιαστικά – όχι θεωρητικά...»
«Ομολογώ πως δεν κατανοώ την διαφορά: Δηλαδή, η σχεδίαση, είναι πράξη “αθεώρητη”; Ή, η θεωρία, (μπορεί να) είναι μία διαδικασία, σχεδιαστικώς, ανακριβής;»
Εσκέφθην επ΄ ολίγον και κατόπιν διετύπωσα κάποια “πρόχειρα σχόλια”, διά να δώ εάν θα τα επιβεβαιώσει:
«Θα σας πω τι έχω εννοήσει περί της “θεωρητικής γεωμετρίας” (και δη, της διδασκομένης εις τα σχολεία):
Εις αυτήν, λοιπόν, νομίζω πως ισχύουν, μεταξύ άλλων, τα εξής δύο:
Α) Οι γεωμετρικές κινήσεις γίνονται εντός μηδενικού χρόνου και διά μηδενικού κόπου. Π.χ., όσος χρόνος και κόπος απαιτείται διά την κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου, τόσος απαιτείται και διά την κατασκευήν χιλίων...»
Β) Η ακρίβεια των κατασκευών είναι αδιαμφισβήτητη (και ..αδιάβλητη), ανεξαρτήτως συνθηκών σχεδιάσεως. Π.χ., Η τομή Μ δύο ευθειών, (α) και (β), θα είναι εξ ίσου ακριβής και συγκεκριμένη ανεξαρτήτως του αν, αυτές, τέμνονται υπό γωνία ορθή ή, υπό γωνία 1/1000 της ορθής,... οπότε, θα είναι ταυτισμένες για ...ένα χιλιόμετρο (δηλαδή, το “Μ”, θα έχει “μήκος”... ενός χιλιομέτρου.). Αυτά, δεν είναι αλήθεια;»
«Μάλιστα», παραδέχθηκε εκείνη, με ένα ύφος που ήταν σαν να “έλεγε”: «τώρα,... πού να σου εξηγώ...». Και κατέληξε:
«Πάντως, ναι: Αυτή είναι η θεωρία... Τα πρακτικά ζητήματα που θέσατε, είναι εκτός αυτής.»
Αντέδρασα:
«Εδώ, ξέρετε, είναι ξυλουργείο και εξετάζουμε και τον χρόνο και τον κόπο και την ακρίβεια των ενεργειών μας...»
«Ναι, ναι, βεβαίως, το καταλαβαίνω...»
«Και θέλετε να μου πείτε ότι, εμείς, εδώ, που τα εξετάζουμε αυτά, ενεργούμε «εκτός θεωρίας»;»
«Όχι, όχι, κάθε άλλο... Απλώς, σας βεβαιώ ότι, όσο και αν σας φαίνεται παράξενο, θεωρητικά, η τομή, Μ, δύο ευθειών (α) και (β) τεμνομένων υπό γωνία 1/1000 της ορθής είναι επακριβώς ορισμένη.»
«Κι΄ ας μη μπορεί να σχεδιαστεί επακριβώς», προσέθεσα και συνεπλήρωσα, σχεδόν, μονολογώντας:
«Ώστε, λοιπόν, υπάρχει θεωρία συμφώνως προς την οποία, η (αν)ακρίβεια, δεν έχει σημασία; Και, αυτή, είναι θεωρία μαθηματική(;)»
Δεν αντέδρασε. Οπότε, συνεπέρανα:
«Λοιπόν, συμφώνως προς αυτήν την θεωρία, η (καθ΄ οιονδήποτε τρόπον) χρήσις του κανόνος και του διαβήτου, είναι απηλλαγμένη χρόνου, κόπου και ανακριβειών...
Στην πράξη όμως, αυτά, προστίθενται συσσωρευτικώς.»
Όταν είπα, αυτό, το τελευταίο, ζήτησα την άδειά της διά να συμπληρώσω το σχήμα της με ένα σχόλιο:



49η εικών:
(“Σχολιασμένη” επανάληψη της προηγουμένης.)

Εν όσω, η καθηγήτρια παρέμενε σιωπηλή, ευρήκα την ευκαιρία να σκεφθώ και να πω:
«Ευτυχώς, που υπάρχουν και τα τέλεια τετράγωνα...:
Εννοώ ότι, διά να βρούμε (π.χ.) την τετραγωνική ρίζα του 5 δεν χρειάζονται όλα, αυτά: Αρκεί μόνο να φτιάξουμε ένα ορθογώνιο “1x2”. Και για την ρίζα του 10, ένα ορθογώνιο, “1x3”. Κτλ.
Άρα για να βρούμε την τετραγωνική ρίζα του 11 δεν θα χρειαστούμε 10 επαναλήψεις αλλά μόνον 2... Το αυτό και για την τετραγωνική ρίζα του 6 που μας ενδιαφέρει... Κάτι είναι κι´ αυτό.»
Αισθάνθηκα πως έπρεπε να το επεξηγήσω περαιτέρω:
Σχεδίασα (σε χαρτί μιλιμετρέ) τα σχήματα που βλέπουμε και της έδωσα, προφορικώς, τις εξηγήσεις που τα συνοδεύουν:



50η εικών:
Δύο “μοναδιαία” τετραγωνικά πλακίδια
εν επαφή, τόσο μεταξύ των, όσο και προς ένα “οδηγό”,
συνιστούν την απλουστέρα και ακριβεστέρα μέθοδο
κατασκευής της τετραγωνικής ρίζας του 5.
Εάν τα τετραγωνικά πλακίδια είναι τρία
λαμβάνουμε την τετραγωνική ρίζα του 10.



51η εικών:
Δια την κατασκευή της τετραγωνικής ρίζας του 11,
απαιτούνται δύο “βήματα” και όχι δέκα.

«Αντιλαμβάνομαι», είπε, «ότι εφαρμόζετε μία ιδιότυπη “πρακτική γεωμετρία”...»
«Δηλαδή, δεν είναι θεωρητική(;)...» “επιβεβαίωσα”.
«Έ,... η χρήση “τετραγωνικών πλακιδίων”...», έκαμε, «δεν είναι και πολύ θεωρητική...»
Μου “εξήγησε” ή, μάλλον, μου υπενθύμισε ότι, εις την θεωρητική γεωμετρία, οι μόνες επιτρεπόμενες κατασκευές είναι διά της χρήσεως κανόνος και διαβήτου.
Kαι συνεπλήρωσε:
«Πάντως, ως προς την ακρίβεια και την οικονομία των κινήσεων, ο τρόπος που χρησιμοποίησατε, είναι πολύ επιτυχής...»
Έκαμα το εξής σχόλιο/ερώτηση:
«Εάν κατασκευάσω ένα τετράγωνο, διά του κανόνος και του διαβήτου, κατόπιν, δεν μπορώ να το χρησιμοποιήσω, όπως θέλω;»
Η σιωπή της μου έδειξε ότι δεν μπορούσε να διατυπώσει μία κατηγορηματική άρνηση. Οπότε, συνέχισα:
«Άλλωστε, εις το ξυλουργείο, η ακριβής κατασκευή ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου – επομένως, και ενός τετραγώνου – είναι η απλουστέρα όλων.»
Της έδειξα την “γωνιάστα”, ήτοι, το μηχάνημα διά του οποίου επιτυγχάνεται η εν λόγω κατασκευή και, εν συνεχεία, επεξήγησα:


52α εικών:
Η “γωνιάστα”: Ένα μηχάνημα Τεμαχισμού επιφανειών ή, “Πάνελ,
εφοδιασμένο με  Δίσκο κοπής, Φορείο μεταφοράς και
 Οδηγό μεταβλητής γωνίας με δυνατότητα προσδιορισμού Αρχικού σημείου.
(Εδώ, ο οδηγός Ο είναι κάθετος προς την κίνηση του φορείου Φ.)



53η εικών:
Η “γωνιάστρα” (λεπτομέρεια).

«Εργαζόμεθα ως εξής:
  • Τοποθετούμε μία πλάκα (πάνελ) Π επί του κυλιομένου φορείου Φ και το κινούμε ώστε, διά του δίσκου Δ, να επιτύχουμε, επί του Π, μία ευθεία τομή, Τ.
  • Φέρουμε εν επαφή την Τ, προς τον οδηγό Ο, ο οποίος είναι κάθετος προς την κίνηση του Φ και επαναλαμβάνουμε επιτυγχάνοντας μία τομή Τ΄(κάθετη προς την Τ).
Τοιουτοτρόπως κατασκευάζουμε μία ορθή γωνία (Τ΄, κάθετος επί την Τ).
  • Διά δύο ακόμη παρομοίων τομών επιτυγχάνουμε την κατασκευή μίας μικροτέρας πλακός η οποία θα έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου.
  • Εάν η απόσταση της αρχής, Α, από τον δίσκο, Δ, διατηρηθεί σταθερά, τότε, το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο θα είναι τετράγωνο.»
Κατόπιν αυτών, συνεπλήρωσα:
«Θα μπορούσα δε να ισχυρισθώ ότι, αυτή η κατασκευή του τετραγώνου, διά το ξυλουργείο, είναι αρχική, κατά τρόπον παρόμοιο προς αυτόν διά του οποίου ισχυριζόμαστε το αυτό και διά την κατασκευή της ευθείας, ήτοι, προβλεπομένη δι΄ ενός αιτήματος).»
«Πώς αυτό;» έκαμε παραξενεμένη.
«Μα, και το αίτημα, το σχετικό με την κατασκευή της ευθείας, ευσταθεί, επειδή υπάρχει ο κανών διά του οποίου κατασκευάζεται η ευθεία. Και, ο κανών, υπάρχει επειδή υπάρχει το μηχάνημα (ή, το εργαλείο) διά του οποίου κατασκευάζεται αυτός, δηλαδή, η πλάνη...
Δοθείσης, λοιπόν, της “γωνιάστας”, του μηχανήματος διά του οποίου κατασκευάζονται οι ορθές γωνίες ή/και τα τετράγωνα, εγώ, μπορώ να διατυπώσω ένα αντίστοιχο “αίτημα” το οποίο, ενδεχο-μένως, μπορεί να αντικαταστήσει (π.χ.) το αίτημα το σχετικό με την κατασκευή του κύκλου...»
«Δηλαδή», έκαμε με ενδιαφέρον, «αυτό το «“αίτημα”», μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε περαιτέρω; –Ας πούμε για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας ενός ρητού αριθμού (που λέμε τώρα);»
Την διόρθωσα:
«Οποιουδήποτε αριθμού... ή, μάλλον, παντός τμήματος ευθείας, ανεξαρτήτως της σχέσεώς του προς το μοναδιαίο, μ.»
«Τί εννοείτε λέγοντας: «ανεξαρτήτως της σχέσεώς του» προς το μοναδιαίο τμήμα μ;»
«Εννοώ το εξής, απλό:
Όταν έχουμε ορίσει ένα τμήμα ευθείας, μ, ως μοναδιαίο και, κατόπιν, λάβουμε ένα άλλο, το λ, ουδείς γνωρίζει και ουδείς δύναται να περιγράψει την σχέση του μ προς το λ, εκτός και αν έχει μεριμνήσει, εκ των προτέρων (εκ κατασκευής), ώστε, αυτή, να είναι κάποια, συγκεκριμένη, π.χ.: λ = 3μ.»



54η εικών:
Στην γεωμετρία, δυο τυχόντα τμήματα ευθείας,
είναι εν γένει, α/σύν/μετρα (δεν έχουν κοινό μέτρο).

«Αλήθεια, είναι αυτό!», έκαμε με έκπληξη δυσαναλόγως μεγάλη σε σχέση προς το απλό πράγμα που διετύπωσα.
«Σας λέγω», συνέχισα, «ότι, εις την γεωμετρία, όλα τα τμήματα ευθειών που συναντούμε, θεωρούμενα ανά δύο, είναι, εν γένει, α/σύν/μετρα (μεταξύ των).
Πάντως, εάν εκλάβουμε το ένα εξ αυτών, ως μοναδιαίο, τότε, η εύρεση της τετραγωνικής ρίζας του άλλου είναι ένα πρόβλημα του οποίου η γεωμετρική λύση είναι απλουστάτη...»
Έκαμα μία μικρή παύση και συνεπλήρωσα.
«Η λύση, η αριθμητική» (τόνισα το «αριθμητική») «είναι η ανέφικτη... Αλλά, αυτό, δεν απασχολεί τον γεωμέτρη: Αυτός, “γυρίζει” προς τον “αριθμητιστή” και του λέγει:
«Θέλεις την τετραγωνική ρίζα του λ; – Είναι αυτό, εδώ, το τμήμα ευθείας. –Εάν, τώρα, δεν έχεις μέτρο να το μετρήσεις ή, να το συν/μετρήσεις με το μ (έτσι που να βρεις ένα αριθμό), αυτό είναι δικό σου πρόβλημα...»
Η φίλη μου, (σχεδόν) συνεφώνησε. Εν συνεχεία όμως, έθεσε μία ερώτηση – την οποία έπρεπε να είχε θέσει πολλού:
«Ορθά τα τοποθετήσατε,... εν τάξει...:
Παρατήρησα όμως ...κάτι άλλο – αν δεν σφάλλω:
Χρησιμοποιείτε τον όρο: «τμήμα ευθείας» αντί του όρου: «ευθύγραμμο τμήμα». Υπάρχει κάποιος λόγος;»
«Χρησιμοποιώ τον λιγότερο εσφαλμένο όρο... Ο ορθός όρος είναι, απλώς: «ευθεία», όπως τον χρησιμοποιεί και ο Ευκλείδης. Αν όμως, χρησιμοποιούσα αυτόν, πώς θα συνεννοούμην με όλους αυτούς, τους παραδοξολόγους;»
«Ποίους (“παραδοξολόγους”) εννοείτε;»
Ωμίλησα ως εξής:
«Δεν θέλω να γίνομαι εχθρικός άνευ λόγου αλλ´, ούτε και φιλικός χωρίς λόγο, δηλαδή, χωρίζοντας τις ενέργειές μου από τον λόγο (την λογική)...:
Λοιπόν, εννοώ,... εσάς, τους (νυν) μαθηματικούς που, κατ΄ αρχάς, λέτε ότι, η ευθεία, δεν ορίζεται...»
Απήντησε στερεοτύπως:
«Ε, καλά λέμε...: Η ευθεία είναι αρχική έννοια – δεν ορίζεται.»
«Εεεε... ευτυχώς που δεν σας είχε ακούσει, ο Ευκλείδης, διότι δεν θα είχε γράψει τα “Στοιχεία” του.»
«Κοιτάξτε», μου είπε, “εμπιστευτικά”: «το θέμα των ορισμών με απασχολεί και εμένα. Με το να μην ορίζουμε τις έννοιες, τα παιδιά, ζουν μέσα στην αοριστία. Όμως, το θέμα που συζητάμε, είναι άλλο:»
«Το θέμα είναι η γενική αοριστία εις την οποία εθίζετε τα παιδιά: Όχι μόνον διότι τους δίδετε προς χρήσιν πράγματα άνευ ορισμών αλλ΄, και επειδή τους υποδεικνύετε και να τα χρησιμοποιούν με αόριστο τρόπο: Τους λέτε (π.χ.) ότι, δύο σημεία Α και Β, ορίζουν μία ευθεία ΑΒ, η οποία ...ευρίσκεται εκεί και “περιμένει” τα σημεία που ...θα την ορίσουν, προτού να ορισθεί δι΄ αυτών διότι, ...ο δι΄ αυτών ορισμός της, ήταν ...ο προορισμός της – ένας προ/ορισμός, προ/ορισμένως από ...κάποια (θεϊκή;) μέριμα.
–Άντε, τώρα, να καταλάβει ο μαθητής όλα αυτά τα, λογικώς, πρωθύστερα...»
Της φάνηκαν, ...ακαταλαβίστικα αλλ΄, όχι και σφαλερά:
«Καλά, ο Ευκλείδης τί λέει;... Και κατ΄ αρχάς (συγνώμη, κιόλας...) πώς σας ήρθε να μελετήσετε τον Ευκλείδη;»
«Αυτό το οφείλω σε ένα καθηγητή μου ...(ποτέ δεν θα του συγχωρήσω που ...πέθανε τόσο νωρίς). Αυτός, λοιπόν, μου είχε πει:
«Εάν θες να μάθεις γεωμετρία, διάβαζε (από) τον ίδιο τον Ευκλείδη... Και, πρόσεξε, γιατί πολλοί που γράφουν «ευκλείδειες» γεωμετρίες, είναι σαν αυτούς που έμαθαν να ανακατεύουν την τράπουλα, και νομίζουν τους εαυτούς τους για χαρτοπαίκτες.»
«Έ, δεν νομίζετε ότι τα παραλέτε;»
«Χμμμ... προτιμώ να σας πω τι λέγει, ο Ευκλείδης, περί της ευθείας... (το πρώτο του αίτημα):
«Από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν αγαγείν.»
Δηλαδή, θα υπάρξει η ευθεία, όταν θα την πάρει κάποιος από το Α και θα την πάει στο Β... π.χ.: όταν “ρίξει” ράμμα.
Η ευθεία, δεν υπάρχει “αφ΄ εαυτής”.»
«Καλά αλλά, και πάλι, δεν εννοώ γιατί το λέτε: «τμήμα ευθείας» και όχι «ευθύγραμμο τμήμα»...»
Απήντησα ως εξής:
«Το «ευθύγραμμο τμήμα» τίνος είναι τμήμα;»
«Μίας ευθείας, προφανώς...»
«Α, ώστε, «προφανώς», ε;...» (Ήτο ειρωνικόν).
Με κοίταξε με απορία.
Εγώ, πήρα ύφος “διδασκαλικόν”:
«Εάν κάποιος ακούσει την έκφραση: «το ευθύγραμμο τμήμα της λεωφόρου», τί είναι “φυσικό” και “κανονικό” να εννοήσει: Ότι έχουμε μία λεωφόρο που είναι ...άπειρη ευθεία και πήραμε ένα τμήμα της, το ΑΒ, ή, ότι έχουμε μία λεωφόρο με ποικίλες (ας πούμε:) «καμπυλώσεις» και θεωρούμε, ένα τμήμα, της που είναι ευθύ;»
Έκαμα το σχετικό σχήμα:


55η εικών:
Το ΑΒ είναι το ευθύγραμμο τμήμα
μίας μεικτόγραμμης λεωφόρου...

Μόλις εκείνη είδε το σχήμα, εγώ, συνέχισα:
«Διά τί, λοιπόν, ένας “φυσικός” και “κανονικός” άνθρωπος, προκειμένου να σκεφθεί μαθηματικά, θα πρέπει ...να παύσει να σκέπτεται “φυσικά” και “κανονικά”;»
Εν όσω η μαθηματικός κοιτούσε συλλογισμένη το σχήμα, εγώ, κατεσκεύασα την δευτέρα ερώτηση:
«Και, όταν λέμε «θα πάω κατ΄ ευθείαν» (π.χ.) από το δέντρο Δ, στο αυτοκίνητό μου, Α, μήπως, προτού να το κάμουμε θεωρούμε ...το “επ΄ άπειρον” σημείο τής ευθείας ΑΔ, προς το μέρος του Δ προς το οποίο δεν κείται το Α και, κατόπιν, το “επ΄ άπειρον” σημείον της, προς το μέρος του Α προς το οποίο δεν κείται το Δ και, κατόπιν φανταζόμαστε ότι ερχόμαστε από το πρώτο επ΄ άπειρον σημείο της και πηγαίνουμε προς το δεύτερο “περνώντας” (“απλώς”) από τα σημεία Δ και Α;
Ή, μήπως, εσείς, οι μαθηματικοί, δεν λέτε «θα πάω κατ΄ ευθείαν» αλλά, λέτε κάτι άλλο;»
Απήντησε, χωρίς πολλή σκέψη:
«Όχι, λέμε «κατ΄ ευθείαν» αλλά, βεβαίως, εννοούμε την ευθεία που είναι ο φορέας του ΔΑ.»
«Και, ο «φορέας» αυτός, πως ορίζεται;»
«Μα, φυσικά, διά του ΔΑ.»
«Δηλαδή, ο «φορέας» ορίζεται διά του φερομένου επ΄ αυτού. Αλλά – ερωτώ: – μπορεί το φερόμενο να ορισθεί προτού να ορισθεί ο φορεύς επί του οποίου φέρεται.; Και αν μπορεί να ορισθεί, τότε, διά τί τον χρειάζεται τον φορέα;»
Μου απήντησε με “χάρ用:
«Εάν επιδιώκατε να με μπερδέψετε... τα καταφέρατε.»
Δεν επεδίωκα αυτό. Είπα, λοιπόν, κάτι άλλο:
«Θεωρούμε δύο κυκλικά τόξα, τα ΑΒ και ΓΔ και το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ.»
Ανέμεινα ώσπου να φανταστεί το σχήμα (σε όλα του τα ενδεχόμενα) και συνέχισα:
«Η (κάθε) γραμμή, ΑΒΓΔ, πως λέγεται;... Μήπως, «μεικτή»; ή, κάπως, έτσι.»
«Μάλιστα...»
«Εάν πω ότι το ΒΓ είναι το ευθύγραμμο τμήμα της μεικτής γραμμής “ΑΒΓΔ” θα είναι ορθό;»
«Ναι, θα είναι...»
«Εάν πω ότι το ΒΓ είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας ΒΓ, θα είναι ορθό;»
«Μάλιστα.»
«Το πρώτο «ορθό» και το δεύτερο «ορθό», αφορούν το αυτό πράγμα ή, διαφορετικά πράγματα;»
«Διαφορετικά, βεβαίως...», παρεδέχθη.
«Εάν πω (σκέτο): «το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ», ποίο από τα δύο ορθά θα εννοήσει ένας “κανονικός” άνθρωπος που θα το ακούσει; Σε ποία από τις προηγούμενες περιπτώσεις (του) “ταιριάζει” καλλίτερα ...και, σε ποία, θα το αποδώσει;»
«Εσείς να μου πείτε», έκαμε ανασηκώνοντας το κεφάλι
«Χμμμ... εγώ νομίζω ότι, ένας «κανονικός» άνθρωπος (π.χ., ένα παιδί), όταν ακούσει: «το ευθύγραμμο τμήμα», θα εννοήσει: «το ευθύγραμμο τμήμα μίας γραμμής η οποία δεν είναι ευθεία καθ´ όλον το μήκος της»... Δηλαδή, θα εννοήσει ακριβώς το αντίθετο από αυτό που εννοούν οι μαθηματικοί.»



56η εικών:
Οι γραμμές ΑιΒιΓιΔι, είναι μεικτές και, τα τμήματα ΒιΓι,
είναι τα ευθύγραμμα τμήματα αυτών.

Έγειρε εμπρός, κοίταξε τα σχήματα μετά προσοχής και, εν τέλει, συγκατένευσε:
«Βλέπω ότι, όντως, είναι καλλίτερα να λέμε: «τμήμα ευθείας».»
Κατόπιν, ερώτησε ή/και ανερωτήθη:
Αλλά, γιατί το λένε: «ευθύγραμμο τμήμα»;»
«Ρωτήστε» (ειρωνεύτηκα) «αυτούς που το λέγουν. Και, κυρίως, διά τί λέγουν: «τμήμα» και όχι, “ΣΚΕΤΗ” «ευθεία»...»
«Αυτό, είναι ένα ζήτημα θεωρητικό...: Η ευθεία δεν έχει πέρατα... Άλλο αν, εμείς, εξετάζουμε τμήματά της που έχουν...»
«Πάλι, ...πιάστηκε αδιάβαστος ο Ευκλείδης, που χρησιμοποιεί, ακριβώς, τον όρο «πεπερασμένη ευθεία». Και λέγων: «αδιάβαστος», εννοώ ότι δεν είχε αναγνώσει τις μεταφράσεις του, που έχουν γίνει εις την αλλοδαπήν.»
«Δεν εννοώ», είπε με ειλικρίνεια.
«Η λέξη «τμήμα», μάλλον, προκύπτει, από το γεγονός ότι, αυτοί, από τους οποίους, σήμερα, μεταφράζουν οι δικοί μας “φωστήρες”, ...δεν έχουν «γραμμή» (από το γργργράφω – ηχομιμιτισμός). Επομένως, δεν έχουν και «ευθεία γραμμή»... Ως «γραμμή», χρησιμοποιούν μία λέξη που, όπως μου εξηγούσε ένας φιλόλογος, σημαίνει ... νήμα, κορδόνι, π.χ., αυτό που, εμείς, οι τεχνικοί, λέμε: «ράμμα». Σχετίζεται δε με το την ελληνική λέξη «λινόν» (λινάρι) που, τελικώς, γίνεται...: Α, αχ, ενθυμούμαι μόνο την αγγλική και την ιταλική λέξη: «line» και «linea»...
Αυτοί, λοιπόν, ως «ευθεία» (εννοείται: «πεπερασμένη») έχουν ένα «τμήμα (τεταμένου) κορδονιού». Καλώς, λοιπόν, το λέγουν: «τμήμα» –Πώς, αλλοιώς να το πουν;
Εμείς, δεν έχουμε λόγους να παραλογιζόμεθα και να αποκαλούμε, «τμήμα ευθείας», αυτήν ταύτην την ευθεία.»
«Ίσως, λοιπόν», είπε, «γι΄ αυτό να χρησιμοποιούμε τον όρο: «ευθύγραμμο τμήμα».»
«Τον παραλογισμό αυτού του όρου, τον εξηγήσαμε, ήδη...»
Δεν έφερε αντίρρηση αλλ΄, ερώτησε:
«Ο Ευκλείδης, δηλαδή, πώς λέει το τμήμα ευθείας: «ευθεία» (“σκέτο”) ή, «πεπερασμένη ευθεία»;»
«Το «πεπερασμένη» το χρησιμοποιεί όταν θέλει, η ευθεία, να “παραμείνει” τοιαύτη, δηλαδή, να αποκλείσει τις εκατέρωθεν «εκβολές» της, π.χ., όταν πρέπει να ευρεθεί το μέσον της. Τότε το διατυπώνει ως εξής:»
«Την δοθείσαν ευθείαν πεπερασμένην δίχα τεμείν».»
Έκαμα ένα σχήμα και συνέχισα:
«Ονομάζει την δοθείσα ευθεία: ΑΒ, «συστήνει» το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και διχοτομεί την γωνία ΑΓΒ.»


57η εικών:
Η διχοτόμος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ
τέμνει δίχα την ΑΒ επί της οποίας συστάθηκε.

«Διά δε την «σύστασιν» του τριγώνου, πάλι, το “ξεκαθαρίζει”:
«Επί της δοθείσης ευθείας πεπερασμένης τρίγωνον ισόπλευρον συστήσασθαι».
Εάν δεν συντρέχει κάποιος λόγος, λέγει: «ευθεία» “σκέτο”.»
Ερώτησε:
«Και την “δική μας” «ευθεία» – την «άπειρη» – πώς την λέει;»
«Απλώς, «άπειρη ευθεία».»
«Α», έκαμε, «κι΄ εμείς θα μπορούσαμε να το λέμε έτσι. Μόνο που θα χρησιμοποιούσαμε δύο λέξεις.»
«Τώρα, χρησιμοποιείτε πολύ περισσότερες και ασαφώς: Λέτε μεν: «ευθεία»... και προσθέτετε το: «δηλαδή, άπειρη».
Κανονικά, διά την σαφήνεια, έπρεπε να προσθέσετε:
«Εκβληθείσα επ΄ άπειρον, εκατέρωθεν» ή, κάτι τέτοιο.
–Θα μου πείτε ότι, όλα αυτά, δεν τα λέτε μεν αλλά, υπονοούνται. Όμως, όταν η νόηση “κουβαλάει” πολλά ...υπονοούμενα και, μάλιστα, άχρηστα, βραδύνει.»
Φάνηκε συλλογισμένη και ...δεκτική διά το επόμενο:
Διά τί να “σέρνει” εις την νόησή του όλα αυτά τα “βαρίδια”, εκείνος που, π.χ., θέλει να υπολογίσει την διάμεσο... Α... και διά τί – πείτε μου – η «διάμεσος», έχει όνομα γένους θηλυκού, αφού, είναι «ευθύγραμμο τμήμα»;»
Η φιλοξενουμένη μου είπε κάτι άλλο:
«Ο Ευκλείδης, την «ημιευθεία» πώς την λέει;»
«Αυτό, πάλι», ξαφνιάστηκα (δήθεν), «η «ημιευθεία», τί είναι;: Το ...πηλίκον της ...διαίρεσης μίας ...άπειρης ευθείας διά του δύο ή, μία ευθεία... “στραβούτσικη” (μισοευθεία);»
«Ελάτε, μη με πειράζετε...», έκαμε με “χάρη”.
«Όταν, ο Ευκλείδης», εξήγησα, «χρειάζεται μία ευθεία, ΑΒ, η οποία να εκβάλλεται μόνον προς μία κατεύθυνση (π.χ., του Β), λέγει...: Αλλά, καλλίτερα να σας κάμω ένα σχήμα επεξηγηματικό:»


58η εικών:
Ευκλείδης:
Αριστερά: «Ευθεία ΑΒ» ή, (εάν συντρέχει λόγος):
«Ευθεία ΑΒ, πεπερασμένη.»
(Αντί του νυν: «Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.»)
Μέσον: «Ευθεία ΑΒ, άπειρος.»
(Αντί του νυν: «Ευθεία ΑΒ.»)
Δεξιά: «Ευθεία, πεπερασμένη μεν κατά το Α,
άπειρος δε κατά το Β.»
(Αντί του νυν: «Ημιευθεία ΑΒ.»)

Αντί άλλης αντιδράσεως, είπε:
«Καλέ, ξέρετε πως ...ξεχαστήκαμε: Είχαμε πει ότι, αφού θεωρείτε το τετράγωνο ως έννοια αρχική, θα μου δείξετε πως μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε για την κατασκευή μίας τετραγωνικής ρίζας.»
«Ε, δεν το είχαμε πει... αλλά, μπορούμε να το πούμε τώρα. Ή, χμμμ, μάλλον, την επομένη φορά διότι θέλει πολλή, ώρα...»



        

        
Posted by at

2 comments:

  1. UnknownNovember 18, 2013 at 12:53 PM

    Πως βγαίνει το ημ(φ/2) = √3/3;

    ReplyDelete
    Replies
    1. ΑλεξίνοοςNovember 19, 2013 at 6:04 AM

      Η καθηγήτρια λέγει:
      «Έχω τον τύπο του ημιτόνου της φ/2. Είναι ο εξής:
      ημ(φ/2) = √3/3.»
      Το λέγει έτσι, διότι, όντως: Τον «έχει»:
      Τον έχει προς χρήσιν... Τον προτείνει προς χρήσιν... Δεν κάθεται κάθε φορά που τον χρησιμοποιεί, να τον αποδεικνύει...
      Πάντως, προθυμοποιείται να βοηθήσει τον ξυλουργό εις την απόδειξη...
      Σημείωση:
      Η απόδειξη υπάρχει εις το κεφάλαιο υπό τον τίτλο: «8. Η δίεδρος γωνία του κανονικού 4-έδρου.». Αλλά, μην την αναζητήσετε εις το PDF, διότι, εκεί, ΔΕΝ υπάρχει...

      Delete

Subscribe to: Post Comments (Atom)