3. Η λιτότητα της γεωμετρίας. [Μέρος Ι, Κεφ. 3]

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

3. Η λιτότητα της γεωμετρίας.

Δεν ήταν, ο καθηγητής μου, που με προέτρεψε να εγκαταλείψω το σχολείο. Αυτό, το έπραξε ο πατέρας μου – εμμέσως πλην σαφώς – όταν απεβίωσε.

Εγκαταλείψας το σχολείο (πλην, όχι και την μάθηση), ελύπησα, τόσο τον μαθηματικό, όσο και τον φιλόλογο ο οποίος μου έλεγε να ασχοληθώ με το “γράψιμο”... Περισσότερο, ελύπησα τον εαυτό μου, που έμεινα ημιμαθής τόσο εις τα μαθηματικά όσο και εις τα ελληνικά και, ουδόλως με παρηγορεί το γεγονός ότι, πολλοί εξ εκείνων που δεν το εγκατέλειψαν, είναι αμαθέστεροι εμού.

Εν τούτοις, διαθέτων ολίγα μαθηματικά εφόδια αναγκάζομαι να τα αξιοποιώ καλλίτερα, πράγμα που αναπτύσσει την νοημοσύνη μου. Αυτό, άλλωστε, διδάσκουν και τα ίδια τα μαθηματικά αφού, μία από τις βασικές τους αρχές, είναι η παραγωγή όσο το δυνατόν περισσοτέ-ρων πραγμάτων, διά της χρήσεως όσο το δυνατόν ολιγοτέρων εφοδίων και μέσων:

Εις την γεωμετρία, αυτά τα μέσα είναι, μόνον, τα δύο γνωστά όργανα, ο κανών, ο διαβήτης και ...λίγα αιτήματα – πέντε, όλα κι΄ όλα (συμφώνως προς τον Ευκλείδη), εκ των οποίων, τα τρία πρώτα εξασφαλίζουν την χρήση των δύο οργάνων. Και πας αληθεπώνυμος μαθηματικός, θεωρεί τιμήν του να γνωρίζει την επίλυση ορισμένων γεωμετρικών προβλημάτων, άνευ της χρήσεως όλων αυτών των οργάνων: Π.χ., να γνωρίζει να κατασκευάζει το μέσον, Μ, ενός τμήματος ευθείας, ΑΒ, μόνον διά της χρήσεως του κανόνος και του μεταφορέως, ο οποίος είναι ένας “διαβήτης” ...μειωμένων δυνατοτήτων”, ήτοι, άνευ γραφίδος: Πρόκειται περί του γνωστού “κουμπάσου” των τεχνιτών”.

Από θεωρητικής απόψεως η εν λόγω κατασκευή του μέσου επιτυγχάνεται άνευ χρήσεως του 3ου ευκλειδείου αιτήματος, το οποίο εξασφαλίζει την “γραφήν” του κύκλου:

«Παντί κέντρω και διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.»

Αξίζει τον κόπο να δούμε και να συγκρίνουμε τις δύο μεθόδους της εν λόγω κατασκευής:

19η εικών:

Κατασκευή του μέσου του ΑΒ διά κανόνος και διαβήτου.

Κατασκευαστικά “Βήματα”(παραλείπονται οι αποδείξεις):

1ον: Κατασκευάζεται ο κύκλος (Α, ΑΒ) και ο κύκλος (Β, ΒΑ)

(κέντρου Α, ακτίνος ΑΒ και κέντρου Β, ακτίνος ΒΑ, αντιστοίχως).

Οι κύκλοι (Α, ΑΒ) και (Β, ΒΑ) τέμνονται εις τα σημεία Κ και Λ.

2ον: Κατασκευάζεται η ευθεία ΚΛ (μεσοκάθετος του ΑΒ)

η οποία τέμνει την ΑΒ εις το σημείο Μ.

Το Μ είναι το μέσον του ΑΒ.

20η εικών:

Κατασκευή του μέσου του ΑΒ διά κανόνος και μεταφορέως.

Κατασκευαστικά “Βήματα”:

1ον: Κατασκευάζεται διά του Α τυχούσα ευθεία (ε).

2ον: Επί της (ε) ορίζονται (διά του μεταφορέως)

τα διαδοχικά και ίσα τμήματα ΑΑ₁, Α₁Α₂ και Α₂Α₃.

3ον: Επί της ΒΑ₃ ορίζεται (διά του μεταφορέως)

το σημείο Γ, συμμετρικό του Β ως προς το Α₃.

4ον: Κατασκευάζεται η ευθεία ΓΑ₂, η οποία τέμνει την ΑΒ εις το Μ.

Το Μ είναι το μέσον του ΑΒ.

Υπόδειξη: Η ΓΜ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ.

«Μα», λέγουν πολλοί μαθηματικοί, «αφού τον έχουμε – που τον έχουμε – τον διαβήτη... γιατί να μη τον χρησιμοποιήσουμε;»

Το αυτό, δυστυχώς, μου είχε πει (πάνε χρόνια, από τότε) και κάποιος συνάδελφος, μετέπειτα δε και φίλος. Και συνέχισε:

«Μήπως, μας έχει σπάσει, ο διαβήτης ή, μήπως, δεν μπορεί, να “δουλέψει” γιατί τα σημεία Α και Β είναι ...μέσα σε ένα δάσος; Και μη μου πεις ότι, μεταξύ αυτών, υπάρχει και μιά λιμνούλα, δηλαδή, δεν μπορεί να “δουλέψει” ούτε η μετροταινία.»

Απήντησα ως εξής:

«Πρώτον, παρόμοιες αιτίες ή, “σενάρια”, ουδόλως είναι απίθα-να. Δεύτερον, όποιος θέλει να δουλέψει το μυαλό του, δεν χρειάζεται έξωθεν πιέσεις ή, ιστορίες – να “μπαίνει” μέσα, σαν τα μικρά παιδιά.»

Αντιπαρήλθε το δεύτερο και απήντησε εις το ...“εύκολο”:

«Καλά τα είπες «σενάρια»... δηλαδή, πράγματα φανταστικά: Όχι, πρακτικά,... που να συμβαίνουν...»

«Όποιος συνηθίζει να επιλύει φανταστικά προβλήματα ετοιμάζεται και διά τα πραγματικά... ή, τα “πρακτικά”.»

Ενεθυμήθην δε και κάτι το οποίο του ανέφερα:

«Άλλωστε, όπως έλεγε και ο καθηγητής μου, τα φανταστικά πράγματα είναι τα πιο πραγματικά... Διότι μόνον κάτι το πραγματικό μπορείς να το αναπαραστήσεις επακριβώς με την φαντασία σου...»

(Αυτός, μπορούσε να υπαγορεύει τις ασκήσεις της γεωμετρίας και τις λύσεις τους χωρίς, καν, να έχει κατασκευάσει το σχήμα.)

Συνέχισα:

«Τα “φανταστικά” προβλήματα που επιλύονται με λιγότερα μέσα (όργανα, εργαλεία κτλ), σε εξοπλίζουν με δυνατότητες ή, δεξιότητες επίλυσης και για τα παρόμοια, “πρακτικά”.»

Ο συνάδελφος με ειρωνεύτηκε:

«Άλλο πράγμα, να λύνω φανταστικά προβλήματα και άλλο, να φαντάζομαι... χμμμ... λόγου χάρη... το πως θα καρφώσω ...μία πρόκα, χωρίς σφυρί. Και αν κάποτε μου συμβεί κάποιο, τέτοιο “πρόβλημα”,... ε,... θα το δούμε επί τόπου.»

Αυτό, το: «θα το δούμε επί τόπου», ήταν η αγαπημένη του έκφραση... Πάντως, όταν άκουσε το “πρόβλημα”, εκφωνημένο από τον ίδιο του τον εαυτό, του εφάνη λιγότερο παράδοξο από ό,τι προτού να το εκφωνήσει. Εγώ δε, «επί τόπου», πήρα μία πρόκα και την κάρφωσα κτυπώντας την με τον πάτο ενός μπουκαλιού της μπύρας, που ήταν παρέκει.

...

Προτού παρέλθει ένας μήνας από τότε, συνέβη κάποιο επεισόδιο από αυτά που μας κάμνουν να λέμε ότι, τα “σενάρια της ζωής” είναι πιο “ευφάνταστα” από τα φανταστικά:

Το επεισόδιο αυτό (βλέπε επόμενο κεφάλαιο), υποχρεώθηκα να το υπομνήσω εις τον ίδιο φίλο και συνάδελφο (βιοτέχνη, τώρα), πριν από μερικές εβδομάδες. Αιτία, ήτο ο τρόπος δια του οποίου με ειρωνεύτηκε σχετικώς προς το θέμα που εξετάζω αυτό το διάσημα, ήτοι, το ενδεχόμενο μέτρησης του ύψους της Πυραμίδος του Χέοπος, άνευ της χρήσεως της σκιάς της. Το χειρότερο ήταν η αδιαφορία του:

Ο φίλος, αρχικώς, κατά την συνήθειά του, “σκάρωσε” ένα σενάριο, (δήθεν) υποστηρικτικό αυτού του ενδεχομένου:

«Ο Θαλής» είπε, «αφήχθη εις την Γκίζα... τα μεσάνυχτα. Την δε επομένη, πρωΐ-πρωΐ, “πέταξε” προς Μίλητο.

–Πού να βρει σκιά... “εν τω μέσω της νυκτός”;»

«Φίλε, μην χλευάζεις διότι ενδέχεται να μην ευρίσκει σκιά ούτε και “εν τω μέσω της ημέρας”...:»

Του έδειξα ένα σχήμα που έβγαλα από την τσέπη μου:

21η εικών:

Εάν ο ήλιος ευρίσκεται εις το εσωτερικό της γωνίας που είναι η κατά κορυφήν

της τετραέδρου γωνίας της πυραμίδος, τότε, δεν υπάρχει ορατή σκιά.

Ο άλλος το εκοίταξε αδιάφορα και φευγαλέα και είπε:

«Ο ήλιος είναι πολύ πιο μακριά από την τετράεδρη γωνία που έφτιαξες.»

«Χμμμ... Μάλλον, η τετράεδρος γωνία, επεκτείνεται πολύ πέραν αυτής που βλέπεις... και – εννοείται – πολύ πέραν του ηλίου που δεν βλέπεις...»

Εξακολούθησε να μη δίδει σημασία... Οπότε, του είπα εκείνα που ενόμισα ως “πρέποντα” (δεδομένης και της, ήδη, πολύωρης και, σχεδόν, άπραγης παραμονής μας εντός της ταβέρνας):

«Βρε, εάν, εσύ, μπορούσες να εκτιμήσεις την δυνατότητα μέτρησης του ύψους της πυραμίδος άνευ χρήσεως της σκιάς της, θα είχες εκτιμήσει και την δυνατότητα κατασκευής του μέσου ενός τμήματος ευθείας άνευ της χρήσεως του διαβήτου... Χμμμ... Όταν όμως θελήσαμε να μετρήσουμε τον ...καταπλακωμένο κύκλο («άνευ της χρήσεως του διαβήτου»), υποχρεώθηκες (δυστυχώς, μάλλον, προσωρινώς) να αλλάξεις στάση... –Μήπως το έχεις λησμονήσει;»

«Και να θέλω να το ξεχάσω, μπορώ; –Αφού, κάθε φορά, μου το “κοπανάς”...: Είπαμε: Εσύ, είσαι ...τόσο έξυπνος που όχι μονάχα “δια-βάζεις βουλωμένο γράμμα” αλλά και “μετράς πλακωμένο κύκλο”.»

«Δεν είμαι «έξυπνος»... Απλώς, σπουδάζω την γεωμετρίαν.»

«Εμένα, δηλαδή, δεν με ενδιαφέρει;»

Εσύ, ενδιαφέρεσαι ...σαν προικοθήρας...

Την επομένη στιγμή του είχα φτιάξει ένα ομοιοκατάληκτο (μιμούμενος, εις στιχουργίαν, τον καθηγητή μου):

«Η γεωμετρία...:

Είναι ωραία,

πάντοτε νέα,

πλουσία – με τσουβάλια λίρες

αλλά,

σιχαίνεται τους προικοθήρες.»

        

Συνεχίζεται, εδώ...