Μετάβαση εις τα σχόλια:
9. Υποχρεωτική και “προαιρετική”,
ξυλουργική και μαθηματική,
ακρίβεια των σχημάτων.
ξυλουργική και μαθηματική,
ακρίβεια των σχημάτων.
Έλαβα ύφος “καθηγητικόν” και άρχισα:
«Ως προς την σχεδίασιν των γεωμετρικών σχημάτων, υπάρχουν δύο ακρίβειες. Οι υποχρεωτικές, άνευ των οποίων το εκάστοτε τεθέν πρόβλημα δεν δύναται να επιλυθεί και οι ...“προαιρετικές”, οι οποίες άλλοτε μεν φανερώνουν την ακαλαισθησία του διαπράττοντος άλλοτε δε και την αμάθεια ή, την αρνησιμάθειά του.
Εις τις “προαιρετικές” ακρίβειες, συνήθως, ανήκουν οι θεωρητικές αποδείξεις οι οποίες είναι ...η χαρά παντός “τσαπατσούλου”: Εννοώ αυτόν που αγνοεί (παραβλέπει...) πως ό,τι είναι το εργαλείο διά τον μάστορα είναι και το σχήμα διά τον γεωμέτρη. Και δεν νοείται ως καλός μάστορας εκείνος που (π.χ.) χρησιμοποιεί το καλέμι εκεί που πρέπει να χρησιμοποιήσει το σκαρπέλο...:
Έχω δει, π.χ., τρίγωνα σκαληνόόότατα (το «σκαληνό» ως επίθετο έχει και συγκριτικούς βαθμούς) τα οποία θα έπρεπε να είναι ισοσκελή ή/και φέρουν την ένδειξιν «ισόπλευρο» ...»
Εκείνη μεν γέλασε εγώ δε συνέχισα (αφού έθεσα την παραπομπή αυτή εδώ):
«Εις το ξυλουργείο – τουλάχιστον κατά την δική μου άποψη – όλες οι ενέργειες πρέπει να είναι “απολύτως” ακριβείς. Εγώ, (π.χ.) δεν αρκεί να αποδείξω ότι η μισή δίεδρος γωνία του κανονικού 12-έδρου έχει, ως ημίτονο, το γνωστό αλλά, θα πρέπει να την σχεδιάσω με τέτοια ακρίβεια ώστε, να την χρησιμοποιήσω διά να ρυθμίσω τα μηχανήματα. Εάν επιδείξω “τσαπατσουλιά”, κατόπιν, (όπως σας έχω εξηγήσει) όταν θα πάω “ταιριάξω” τις έδρες του (π.χ. τα “τελάρα” του Λεονάρντο, που λέγαμε), δεν θα “κολλάνε” αλλά, θα “χάσκουν”. Θα χάσκουν και θα ...καταμαρτυρούν την κακοτεχνία μου. Δι΄ αυτής δε, θα αποκαλύπτουν την αφιλοτιμία μου.»
Αναζήτησα ένα προηγούμενο σχέδιο (από το 12-εδρο) το οποίο διεμόρφωσα καταλλήλως ώστε να της εξηγήσω/επαναλάβω:
68η εικών:
Εάν η τομές των εδρών δεν είναι ακριβείς, τότε,
η ένωσή τους θα σχηματίζει κενά.
Κατέληξα δε εις το εξής:
«Αυτή, η αποκάλυψη της αφιλοτιμίας δια της φανερώσεως της κακοτεχνίας, είναι η δικαία τιμωρία δι΄ όλους τους αφιλοτίμους κακοτέχνους, τους και... «σκιτζήδες» αποκαλουμένους...»
«Πάντως, εννοείτε μόνον τις ξυλουργικές κατασκευές, όχι και τις γεωμετρικές, αυτές, στον πίνακα ή, ακόμη, και στα σχολικά βιβλία. Δεν λέω, βεβαίως, ότι δεν πειράζει αν είναι “τσαπατσούλικες”.»
«Πρωτίστως, εννοώ ότι, ο ξυλουργός, δεν έχει την πολυτέλεια της “τσαπατσουλιάς”. Γι΄ αυτόν, η ακρίβεια είναι υποχρεωτική. Και θα έλεγα πως αυτή η υποχρεωτικότητα θα πρέπει να είναι διδακτική και διά τους μαθηματικούς... Πάντως, υπάρχει μία περίπτωση κατά την οποία, τόσο ο ξυλουργός όσο και ο συγγραφεύς ενός βιβλίου έχουν την ίδια, αναγκαστική, υποχρέωση: Αυτή, είναι η περίπτωση όπου θέλουν να απεικονίσουν ένα αντικείμενο διά να το επιδείξουν σε κάποιον άλλον (πελάτη ή, αναγνώστη) ο οποίος δεν το γνωρίζει (επακριβώς). Εάν η απεικόνιση δεν είναι ακριβής, τότε, ο άλλος, δεν θα το αποδεχθεί. Και ο μεν ξυλουργός δεν θα αμειφθεί ο δε συγγραφεύς τους σχολικού βιβλίου έχει, ήδη, αμειφθεί...»
«Δυστυχώς», παρενέβη η καθηγήτρια, «ο μαθητής είναι υποχρεωμένος να το αποδεχθεί».
Θέλησα να διευκρινίσω:
«Κατ΄ αρχάς, η «αποδοχή» κρίνεται εκ του αποτελέσματος, κάτι που, εσείς, γνωρίζεται κάλλιον εμού.»
Κατένευσε, οπότε, συνέχισα:
«Εάν όμως, ο μαθητής, δει ένα ...“σαχλαμάρικο” σχήμα και αντί να το απορρίψει, ως “σαχλό”, το αποδεχθεί, τότε, θα ... παραπλανηθεί διότι, αυτό, θα αφορά άλλο αντικείμενο από το, δήθεν, εικονιζόμενο.»
«Οφείλω να ομολογήσω ότι, έτσι είναι – αν και υπερβάλλετε...»
«Α, ναι; –Θα το δούμε, αυτό...:»
Εν όσω ωμιλούσα, ταυτοχρόνως, αναζητούσα ένα σχολικό βιβλίο. Όταν το ηύρα, ενετόπισα, αμέσως την σελίδα που ήθελα διότι την είχα “σημαδέψει” με ένα χαρτί επί του οποίου είχα σχεδιάσει (ξεπατικώσει) το σχήμα που με ενδιέφερε. Στ΄ αριστερά: όπως ήταν και, στα δεξιά: όπως το μετέτρεψα διά να το σχολιάσω, κάτωθεν αυτού:
69η εικών:
Εάν το πρώτο σχήμα ήταν κανονικό 20-εδρο, τότε,
το πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ εις το δεύτερο, θα ήταν κανονικό.
Και τότε, η διαγώνιος ΑΔ θα ήταν παράλληλος προς την πλευρά ΒΓ
και η διαγώνιος ΒΔ προς την πλευρά ΑΕ.
(Διότι, κατά την προβολήν, διατηρούνται οι παραλληλίες.)
«Δυστυχώς», είπα, «αυτοί που αποδεικνύουν “τσαπατσούλικα”, κακοσυνηθίζουν και, έπειτα, “τσαπατσουλίζουν” και εκεί όπου η ακρίβεια είναι υποχρεωτική: Εδώ, τα τρίγωνα που είναι “φάτσα”, είναι πιο στενά από εκείνα που είναι πλαγίως... Αυτό, “βγάζει μάτι”, όχι τόσο για την “κακασχημία” του όσο για την θεωρητική ανεπάρκεια και άγνοια, αυτού που το έφτιαξε ...(και, έτσι, μας την φανέρωσε).»
Προέβαλε κάποιες αντιρρήσεις, οπότε, της επεσήμανα:
«Αυτός που το έχει σχεδιάσει αγνοεί ή, αδιαφορεί για το γεγονός ότι η ορθή προβολή (όπως είναι η δισδιάστατη απεικόνιση παντός στερεού) διατηρεί την παραλληλία των ευθειών. Μάλλον, “δεν πάει το μυαλό του” να σκεφθεί “τέτοια πράγματα” διότι, όπως είπα, έχει κακοσυνηθίσει... εις την “τσαπατσουλιά”...:
Τώρα, ...αλλοίμονο εις τον μαθητή ο οποίος θα πιστέψει ότι, αυτό που είδαμε, είναι το κανονικό 20-εδρο. Θα βλέπει, κατόπιν, το πραγματικό και... δεν θα το αναγνωρίζει...»
70η εικών:
Εάν το πρώτο σχήμα είναι κανονικό 20-εδρο, τότε,
το δεύτερο, ...τί να είναι;
Η φιλοξενουμένη μου έμεινε σκεπτική επί πολύ. Έπειτα, είπε κάτι ...“αναπάντεχο”:
«Τα ξέρω αγαπητέ μου,... τα ξέρω. Και, αυτός, είναι ένας απ´ τους λόγους που έπεισα τον διευθυντή του σχολείου να φτιάξουμε τα κανονικά πολύεδρα – αυτά που θα κάνετε....:»
Δίστασε λίγο και μου το “απεκάλυψε”:
«Για ν΄ αντιστρέψουμε την απέχθεια που προκαλούν, στους μαθητές μας, πολλές κακοτεχνίες των σχολικών βιβλίων.»
Ενθαρρύνθηκα διά να συνεχίσω:
«Λοιπόν, συμφωνείτε μαζί μου... Εγώ, άλλο είχα καταλάβει.»
«Κοιτάξετε», μου είπε, «ούτε εγώ, είμαι βέβαιη ότι διαφωνώ μαζί σας... Απλώς, θεωρώ υπερβολική την επιμονή σας στο θέμα της ακρίβειας... Και, ξέρετε, πολλές φορές, αυτή, απαιτεί υπερβολική και, μάλλον, περιττή απώλεια χρόνου ...π.χ., στον πίνακα.»
«Συμφώνως προς την τεχνική μου εμπειρία, η “τσαπατσουλιά, είναι που συνιστά απώλεια χρόνου: Αυτού, των επανορθώσεων – εάν είναι εφικτές. Εξ άλλου, η επίτευξη της ακριβείας, συνήθως, απαιτεί απόκτηση γνώσεων κάτι που, βεβαίως, δεν είναι απώλεια χρόνου.»
Είπε κάτι άλλο:
«Πάντως, παραδέχομαι πως, οι εποπτικές εικόνες που υπάρχουν στα βιβλία, δηλαδή, εκείνες που μπαίνουν για να αποκτήσει το παιδί μία ιδέα ενός αγνώστου αντικειμένου, πρέπει να είναι τέλειες...:
Ειδεμή, αυτός που γράφει το βιβλίο, είναι «σκιτζής»... (εάν μου επιτρέπετε να χρησιμοποιήσω την ορολογία σας).»
Εσκέφθη και παρατήρησε:
«Αλλά, οι παρατηρήσεις που κάνατε, προηγουμένως (με την παραλληλία πλευρών-διαγωνίων του 5-γωνου κτλ), αφορούν την διαπίστωση της σφαλερότητας του σχήματος του 20-εδρου. Δεν αποδεικνύουν όμως ότι, αυτός που το έφτιαξε, θα μπορούσε να το κάνει καλλίτερο...»
Απήντησα διά ρητορικής ερωτήσεως:
«Αυτήν την διαπίστωση, ο συγγραφεύς του βιβλίου, την έκαμε;
–Εάν όχι, είναι αδαής και αν ναι, είναι αδαέστερος, αφιλότιμος ή/και ...κάτι, ακόμη, που διστάζω να το πω...»
«Αφήστε το «κάτι, ακόμη» και πέστε μου για τα άλλα...»
«Όλα, είναι ένα... Άρα, ήδη, έχω πει πολλά...»
Είπε κάτι, το οποίο (πως το βρήκε;...), ήταν σωστό:
«Μήπως, δεν με εμπιστεύεστε;»
«Εάν πρέπει να σας εμπιστευθώ», απήντησα, «σας δηλώνω ότι, αυτά που θα πούμε, θα μείνουν μεταξύ μας... Αυτό σημαίνει, ότι εάν κάποιος (λέγω: «εάν»...) με ερωτήσει, μήπως τα είπα, εγώ, θα σας διαψεύσω...»
«Άρα, δεν με εμπιστεύεστε», συνεπέρανε.
«Θα σας εμπιστευθώ εάν δεν θα χρειαστεί να σας διαψεύσω...»
Κατόπιν αυτών συνέχισα το θέμα μου:
«Κατ΄ αρχάς, εάν εσείς γνωρίζετε το πως πρέπει να απεικονίζεται ένα κανονικό 20-εδρο, θα πρέπει και να απαιτείτε να το γνωρίζει και ο συγγραφεύς του βιβλίου που διδάσκετε.»
Αναλογίστηκα ότι μπορεί να την έφερα σε δύσκολη θέση (εγνώριζε, όντως, τον τρόπο της απεικόνισης;) και “το άλλαξα”:
«Αλλά, ας πάρουμε το κανονικό 4-εδρο που εξετάσαμε εμείς:
Κοιτάξετε το σχήμα του βιβλίου και πείτε μου:
Εάν υποθέσουμε ότι, αυτό το “4-εδρο”, “κάθεται” σε ένα οριζόντιο τραπέζι, το ύψος του, δεν θα είναι κατακόρυφο; Και, δεν θα πρέπει να διέρχεται διά του κέντρου βάρους της βάσεώς του.»
Παρατηρήσαμε το πρώτο σχήμα της επομένης εικόνος και φανταστήκαμε το δεύτερο:
Εάν το πρώτο σχήμα είναι κανονικό 20-εδρο, τότε,
το δεύτερο, ...τί να είναι;
Η φιλοξενουμένη μου έμεινε σκεπτική επί πολύ. Έπειτα, είπε κάτι ...“αναπάντεχο”:
«Τα ξέρω αγαπητέ μου,... τα ξέρω. Και, αυτός, είναι ένας απ´ τους λόγους που έπεισα τον διευθυντή του σχολείου να φτιάξουμε τα κανονικά πολύεδρα – αυτά που θα κάνετε....:»
Δίστασε λίγο και μου το “απεκάλυψε”:
«Για ν΄ αντιστρέψουμε την απέχθεια που προκαλούν, στους μαθητές μας, πολλές κακοτεχνίες των σχολικών βιβλίων.»
Ενθαρρύνθηκα διά να συνεχίσω:
«Λοιπόν, συμφωνείτε μαζί μου... Εγώ, άλλο είχα καταλάβει.»
«Κοιτάξετε», μου είπε, «ούτε εγώ, είμαι βέβαιη ότι διαφωνώ μαζί σας... Απλώς, θεωρώ υπερβολική την επιμονή σας στο θέμα της ακρίβειας... Και, ξέρετε, πολλές φορές, αυτή, απαιτεί υπερβολική και, μάλλον, περιττή απώλεια χρόνου ...π.χ., στον πίνακα.»
«Συμφώνως προς την τεχνική μου εμπειρία, η “τσαπατσουλιά, είναι που συνιστά απώλεια χρόνου: Αυτού, των επανορθώσεων – εάν είναι εφικτές. Εξ άλλου, η επίτευξη της ακριβείας, συνήθως, απαιτεί απόκτηση γνώσεων κάτι που, βεβαίως, δεν είναι απώλεια χρόνου.»
Είπε κάτι άλλο:
«Πάντως, παραδέχομαι πως, οι εποπτικές εικόνες που υπάρχουν στα βιβλία, δηλαδή, εκείνες που μπαίνουν για να αποκτήσει το παιδί μία ιδέα ενός αγνώστου αντικειμένου, πρέπει να είναι τέλειες...:
Ειδεμή, αυτός που γράφει το βιβλίο, είναι «σκιτζής»... (εάν μου επιτρέπετε να χρησιμοποιήσω την ορολογία σας).»
Εσκέφθη και παρατήρησε:
«Αλλά, οι παρατηρήσεις που κάνατε, προηγουμένως (με την παραλληλία πλευρών-διαγωνίων του 5-γωνου κτλ), αφορούν την διαπίστωση της σφαλερότητας του σχήματος του 20-εδρου. Δεν αποδεικνύουν όμως ότι, αυτός που το έφτιαξε, θα μπορούσε να το κάνει καλλίτερο...»
Απήντησα διά ρητορικής ερωτήσεως:
«Αυτήν την διαπίστωση, ο συγγραφεύς του βιβλίου, την έκαμε;
–Εάν όχι, είναι αδαής και αν ναι, είναι αδαέστερος, αφιλότιμος ή/και ...κάτι, ακόμη, που διστάζω να το πω...»
«Αφήστε το «κάτι, ακόμη» και πέστε μου για τα άλλα...»
«Όλα, είναι ένα... Άρα, ήδη, έχω πει πολλά...»
Είπε κάτι, το οποίο (πως το βρήκε;...), ήταν σωστό:
«Μήπως, δεν με εμπιστεύεστε;»
«Εάν πρέπει να σας εμπιστευθώ», απήντησα, «σας δηλώνω ότι, αυτά που θα πούμε, θα μείνουν μεταξύ μας... Αυτό σημαίνει, ότι εάν κάποιος (λέγω: «εάν»...) με ερωτήσει, μήπως τα είπα, εγώ, θα σας διαψεύσω...»
«Άρα, δεν με εμπιστεύεστε», συνεπέρανε.
«Θα σας εμπιστευθώ εάν δεν θα χρειαστεί να σας διαψεύσω...»
Κατόπιν αυτών συνέχισα το θέμα μου:
«Κατ΄ αρχάς, εάν εσείς γνωρίζετε το πως πρέπει να απεικονίζεται ένα κανονικό 20-εδρο, θα πρέπει και να απαιτείτε να το γνωρίζει και ο συγγραφεύς του βιβλίου που διδάσκετε.»
Αναλογίστηκα ότι μπορεί να την έφερα σε δύσκολη θέση (εγνώριζε, όντως, τον τρόπο της απεικόνισης;) και “το άλλαξα”:
«Αλλά, ας πάρουμε το κανονικό 4-εδρο που εξετάσαμε εμείς:
Κοιτάξετε το σχήμα του βιβλίου και πείτε μου:
Εάν υποθέσουμε ότι, αυτό το “4-εδρο”, “κάθεται” σε ένα οριζόντιο τραπέζι, το ύψος του, δεν θα είναι κατακόρυφο; Και, δεν θα πρέπει να διέρχεται διά του κέντρου βάρους της βάσεώς του.»
Παρατηρήσαμε το πρώτο σχήμα της επομένης εικόνος και φανταστήκαμε το δεύτερο:
71η εικών:
Εάν, το απεικονιζόμενο σχήμα, ήταν κανονικό 4-εδρο, τότε,
το ύψος του θα διήρχετο διά του κέντρου βάρους της βάσης του, ήτοι:
ΑΜγ = ΜγΒ, ΒΜα = ΜαΓ, ΓΜβ = ΜβΑ.
Επίσης, (π.χ.) η ΜγΜα θα ήταν παράλληλος την ΑΓ
με ΜγΜα/ΑΓ = 1/2 και ΑΜ/ΑΜα = 2/3
(διότι, κατά την προβολή, διατηρούνται οι λόγοι και οι παραλληλίες).
«Τόσο δύσκολο είναι, λοιπόν», είπα με ύφος αγανακτισμένου, «να απεικονισθεί ορθώς, ένα κανονικό 4-εδρο;»
Μου εντέτεινε το εξής:
«Μα, κι΄ εσείς, προηγουμένως, αντί να το σχεδιάσετε, κάνατε ...“χειροτεχνία”.»
«Εγώ, την έκαμα, ακριβώς, διότι δεν το εγνώριζα και προσπαθούσα να το μάθω... Και σας είπα ότι αυτός ήταν ο λόγος διά τον οποίον δεν το σχεδίασα: –Διά να μη το κάμω “κακόσχημο”.
Τώρα, μπορώ να το σχεδιάσω με μεγάλη ακρίβεια...»
«Εννοείτε ότι θα το βλέπετε και θα το ιχνογραφήσετε;»
«Χμμμ,... Και, αυτό ακόμη, αν έκαμα, θα είχα καλλίτερο αποτέλεσμα από αυτό που είδαμε. Αλλά, θα κάμω κάτι άλλο:
Γνωρίζω ότι, η προβολή, μ΄, ενός τμήματος ευθείας, μ, είναι:
μ΄ = μ·ημ(φ) όπου φ, η γωνία που σχηματίζει, το μ, με την διεύθυνση της προβολής.»
Έκαμα ένα πρόχειρο σχήμα:
Εάν, το απεικονιζόμενο σχήμα, ήταν κανονικό 4-εδρο, τότε,
το ύψος του θα διήρχετο διά του κέντρου βάρους της βάσης του, ήτοι:
ΑΜγ = ΜγΒ, ΒΜα = ΜαΓ, ΓΜβ = ΜβΑ.
Επίσης, (π.χ.) η ΜγΜα θα ήταν παράλληλος την ΑΓ
με ΜγΜα/ΑΓ = 1/2 και ΑΜ/ΑΜα = 2/3
(διότι, κατά την προβολή, διατηρούνται οι λόγοι και οι παραλληλίες).
«Τόσο δύσκολο είναι, λοιπόν», είπα με ύφος αγανακτισμένου, «να απεικονισθεί ορθώς, ένα κανονικό 4-εδρο;»
Μου εντέτεινε το εξής:
«Μα, κι΄ εσείς, προηγουμένως, αντί να το σχεδιάσετε, κάνατε ...“χειροτεχνία”.»
«Εγώ, την έκαμα, ακριβώς, διότι δεν το εγνώριζα και προσπαθούσα να το μάθω... Και σας είπα ότι αυτός ήταν ο λόγος διά τον οποίον δεν το σχεδίασα: –Διά να μη το κάμω “κακόσχημο”.
Τώρα, μπορώ να το σχεδιάσω με μεγάλη ακρίβεια...»
«Εννοείτε ότι θα το βλέπετε και θα το ιχνογραφήσετε;»
«Χμμμ,... Και, αυτό ακόμη, αν έκαμα, θα είχα καλλίτερο αποτέλεσμα από αυτό που είδαμε. Αλλά, θα κάμω κάτι άλλο:
Γνωρίζω ότι, η προβολή, μ΄, ενός τμήματος ευθείας, μ, είναι:
μ΄ = μ·ημ(φ) όπου φ, η γωνία που σχηματίζει, το μ, με την διεύθυνση της προβολής.»
Έκαμα ένα πρόχειρο σχήμα:
72α εικών:
Το μ΄ είναι η προβολή του μ,
κατά την διεύθυνση των πράσινων βελών.
Το μ΄ είναι η προβολή του μ,
κατά την διεύθυνση των πράσινων βελών.
«Προφανώς», συνέχισα, «εάν ένα τμήμα, λ, είναι κάθετο προς το μ, η προβολή του θα είναι: ίση προς λ΄= λ·συν(φ).»
«Αυτά, πού τα γνωρίζετε(;)...», άρχισε να λέγει αλλά, το διόρθωσε:
«Αυτά, που γνωρίζετε, σας επιτρέπουν να κάνετε, τις ακριβείς απεικονίσεις που είπατε... Περιμένω, με ενδιαφέρον, την συνέχεια:»
«Η συνέχεια (και τα προηγούμενα), δεν συνιστά, βεβαίως, «περιττή απώλεια χρόνου», έτσι δεν είναι;»
«Είναι χρόνος μάθησης», συνεφώνησε, οπότε, συνέχισα:
«Ας υποθέσουμε ότι, η φ, είναι τα 2/3 της ορθής («60 μοίρες», όπως το λέγουν οι πολλοί...) και, ότι, το μ (που λέγαμε), είναι το ύψος του κανονικού 4-έδρου – Ας το ονομάσουμε, λοιπόν: υ.
Άρα, γνωρίζω ότι η προβολή του υ θα είναι ίση προς:
υ΄ = υ ∙(√3)/2 (διότι, √3)/2, είναι το ημίτονο της φ).
Το υ, βεβαίως, μπορούμε να το κατασκευάσουμε ή/και να το υπολογίσουμε διότι είναι το, διά του Δ, ύψος του τριγώνου ΔΜΒ που έχουμε ενώπιόν μας.»
Και οι δύο φανταστήκαμε το εν λόγω ύψος (εις το σχήμα που ακολουθεί) η δε καθηγήτρια, ηύρε (διόλου απίθανον) ή, ενεθυμήθη (πιθανόν) ότι, αυτό, ισούται προς: υ = ΒΔ∙(√6)/3.
«Αυτά, πού τα γνωρίζετε(;)...», άρχισε να λέγει αλλά, το διόρθωσε:
«Αυτά, που γνωρίζετε, σας επιτρέπουν να κάνετε, τις ακριβείς απεικονίσεις που είπατε... Περιμένω, με ενδιαφέρον, την συνέχεια:»
«Η συνέχεια (και τα προηγούμενα), δεν συνιστά, βεβαίως, «περιττή απώλεια χρόνου», έτσι δεν είναι;»
«Είναι χρόνος μάθησης», συνεφώνησε, οπότε, συνέχισα:
«Ας υποθέσουμε ότι, η φ, είναι τα 2/3 της ορθής («60 μοίρες», όπως το λέγουν οι πολλοί...) και, ότι, το μ (που λέγαμε), είναι το ύψος του κανονικού 4-έδρου – Ας το ονομάσουμε, λοιπόν: υ.
Άρα, γνωρίζω ότι η προβολή του υ θα είναι ίση προς:
υ΄ = υ ∙(√3)/2 (διότι, √3)/2, είναι το ημίτονο της φ).
Το υ, βεβαίως, μπορούμε να το κατασκευάσουμε ή/και να το υπολογίσουμε διότι είναι το, διά του Δ, ύψος του τριγώνου ΔΜΒ που έχουμε ενώπιόν μας.»
Και οι δύο φανταστήκαμε το εν λόγω ύψος (εις το σχήμα που ακολουθεί) η δε καθηγήτρια, ηύρε (διόλου απίθανον) ή, ενεθυμήθη (πιθανόν) ότι, αυτό, ισούται προς: υ = ΒΔ∙(√6)/3.
73η εικών:
υ2 = ΔΜ2 – ΜΗ2 (πυθαγόρειο θεώρημα ).
Υπόμνηση: ΜΔ (= ΜΓ) = ΒΔ∙(√3)/2. ΜΗ = ΜΒ/3.
Εις το σημείο αυτό, η φίλη μου, διετύπωσε ένα έπαινο τον οποίον, πάραυτα, απεποιήθην:
«Αυτά, τα γνωρίζουν όλοι, οι ξυλουργοί;»
«Όλοι, όσοι δεν είναι “σκιτζήδες”...»
«Νομίζω πως του βρίζετε...»
«Εξ ου και έχω, μόνον ένα φίλο, από αυτούς...»
Επέστρεψα στο θέμα:
«Αφού μάθαμε τι γίνεται με την προβολή του ύψους ας δούμε και την προβολή της βάσεως του 4-έδρου:»
Σχεδίασα ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, εις την κατάλληλη θέση.
Σχεδίασα και μία ευθεία οριζόντια, διά του κέντρου του και τις διά των κορυφών του, καθέτους προς αυτήν:
«Οι ΑΑ΄, ΒΒ΄ και ΓΓ΄ είναι, προφανώς, κάθετες (ορθογώνιες) προς το ύψος υ. Άρα, οι προβολές τους θα είναι ίσες προς τις ημίσειες αυτών, αφού θα είναι πολλαπλασιασμένες με το συνημίτονο της φ που είναι ίσο προς 1/2. Έ, βρίσκω, λοιπόν, τα μέσα τους, τα ΜΑ, ΜΒ και ΒΓ και φτιάχνω το τρίγωνο ΜΑΜΒΒΓ.
Αυτό, είναι η προβολή του ΑΒΓ.»
υ2 = ΔΜ2 – ΜΗ2 (πυθαγόρειο θεώρημα ).
Υπόμνηση: ΜΔ (= ΜΓ) = ΒΔ∙(√3)/2. ΜΗ = ΜΒ/3.
Εις το σημείο αυτό, η φίλη μου, διετύπωσε ένα έπαινο τον οποίον, πάραυτα, απεποιήθην:
«Αυτά, τα γνωρίζουν όλοι, οι ξυλουργοί;»
«Όλοι, όσοι δεν είναι “σκιτζήδες”...»
«Νομίζω πως του βρίζετε...»
«Εξ ου και έχω, μόνον ένα φίλο, από αυτούς...»
Επέστρεψα στο θέμα:
«Αφού μάθαμε τι γίνεται με την προβολή του ύψους ας δούμε και την προβολή της βάσεως του 4-έδρου:»
Σχεδίασα ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, εις την κατάλληλη θέση.
Σχεδίασα και μία ευθεία οριζόντια, διά του κέντρου του και τις διά των κορυφών του, καθέτους προς αυτήν:
«Οι ΑΑ΄, ΒΒ΄ και ΓΓ΄ είναι, προφανώς, κάθετες (ορθογώνιες) προς το ύψος υ. Άρα, οι προβολές τους θα είναι ίσες προς τις ημίσειες αυτών, αφού θα είναι πολλαπλασιασμένες με το συνημίτονο της φ που είναι ίσο προς 1/2. Έ, βρίσκω, λοιπόν, τα μέσα τους, τα ΜΑ, ΜΒ και ΒΓ και φτιάχνω το τρίγωνο ΜΑΜΒΒΓ.
Αυτό, είναι η προβολή του ΑΒΓ.»
74η εικών:
Το τρίγωνο ΜΑΜΒΒΓ είναι η προβολή του ΑΒΓ.
«Τώρα», κατέληξα, «πρέπει να τοποθετήσω και το υ΄, προβολή του υ και να συνδέσω το άνω άκρο του με τα ΜΑ, ΜΒ, και ΜΓ. Το υ΄ θα είναι ίσο προς υ·ημφ, δηλαδή: υ·√3/2, όπου, υ, αυτό που βρήκατε, πριν λίγο.»
Το έκαμα αφού σχεδίασα εκ νέου το ΜΑΜΒΒΓ. Προς τούτο, “πέρασα” τις κορυφές του, με μία καρφίτσα (την ακμή του διαβήτου) σε ένα άλλο χαρτί, που το έβαλα κάτω από αυτό. Κατόπιν, έβαλα δίπλα-δίπλα, το σχέδιο που έφτιαξα και εκείνο του σχολικού βιβλίου:
Το τρίγωνο ΜΑΜΒΒΓ είναι η προβολή του ΑΒΓ.
«Τώρα», κατέληξα, «πρέπει να τοποθετήσω και το υ΄, προβολή του υ και να συνδέσω το άνω άκρο του με τα ΜΑ, ΜΒ, και ΜΓ. Το υ΄ θα είναι ίσο προς υ·ημφ, δηλαδή: υ·√3/2, όπου, υ, αυτό που βρήκατε, πριν λίγο.»
Το έκαμα αφού σχεδίασα εκ νέου το ΜΑΜΒΒΓ. Προς τούτο, “πέρασα” τις κορυφές του, με μία καρφίτσα (την ακμή του διαβήτου) σε ένα άλλο χαρτί, που το έβαλα κάτω από αυτό. Κατόπιν, έβαλα δίπλα-δίπλα, το σχέδιο που έφτιαξα και εκείνο του σχολικού βιβλίου:
75η εικών:
Δύο 4-εδρα, το δεύτερο, κανονικό.
Όταν τελείωσα, είπα:
«Εάν δύο ξυλουργοί σας έδειχναν, έκαστος έκαστο σχέδιο, ποίον θα θεωρούσατε αξιοπιστότερο;»
«Η ερώτηση, βεβαίως, είναι ...ρητορική», έκαμε.
Κατόπιν, ενεθυμήθη:
«Αλλά, έχετε να μου πείτε... όλα, εκείνα, τα οποία,... εάν τα “μαρτυρήσω”, θα με διαψεύσετε...»
«Όχι ακόμη... Ακούστε, πρώτα, αυτό:
Εσείς, όλα αυτά που κάμνω, ενώπιόν σας και που έχετε την υπομονή να τα παρακολουθείτε, μπορεί να θεωρείτε αμελητέα – και, ίσως, να είναι...»
«Κάθε άλλο» , με διεβεβαίωσε πλην όχι πολύ πειστικά.
Συνέχισα:
«Εγώ όμως, έχω κοπιάσει πολύ διά να τα μάθω...:
Μελετάω,... μελετάω το κάθε τι που μου προκύπτει...
Και δεν μελετώ, μόνο αλλά, και διαβάζω... και, ρωτάω,... ρωτάω όποιον βρίσκω και έχει την καλή διάθεση να μου πει...: Πολλές εκ των γνώσεών μου είναι – όπως λέγω: «Εξ ερανισμάτων».»
Μου χαμογέλασε:
«Οι δικές μου, είναι, σχεδόν όλες...: «Εξ ερανισμάτων».»
Εσκέφθη και εξήγησε:
«Ίσως όμως, αυτό, να οφείλεται στην διαφορετική φύση των εργασιών μας:
Μ΄ εκοίταξε διστακτικά:
«Είναι, ακριβώς, όπως τα είπατε», την διεβεβαίωσα.
«Αλλά», συνέχισε, «εσείς (δηλαδή, εσύ), έχετε το “ταλέντο” της αυτοδιδαχής... αυτό, φαίνεται εκ του αποτελέσματος.»
Μου αρέσουν οι έπαινοι αλλ΄, όχι οι ...άδικοι:
«Εσείς, βλέπετε όσα γνωρίζω και, αυτά, σας κρύβουν όσα αγνοώ... Βλέπετε όσα ευρίσκω και όχι, όσα δεν μπορώ να εύρω...»
«Μα τί λέτε; Τώρα, μόλις, δείξατε το “ταλέντο” σας...»
Μου έδωσε την ευκαιρία ή, όπως λέγουν μερικοί: «την πάσα» :
«Είδατε, λοιπόν, πόσα μπορεί να μάθει κάποιος, μόνο και μόνο, επειδή έχει την “μανία” της ακριβούς σχεδιάσεως...:
Διότι, σε τί θα μου χρειαζόταν, εμένα, ο υπολογισμός (π.χ.) του ύψους του 4-έδρου, εάν επρόκειτο να σχεδιάσω μία “καρικατούρα”;»
Δεν ωμίλησε, οπότε, συνέχισα:
Αυτή, η “μανία”, μου έχει επιτρέψει να εξασκηθώ εις την χρήσιν των ελαχίστων γεωμετρικών γνώσεων που διαθέτω, προς επίλυσιν σχεδιαστικών προβλημάτων, πράγμα που αγνοούν πολλοί συνάδελφοί μου. Και, τελώ εν επιγνώσει του ότι, η γεωμετρία, χρειάζεται ΚΑΙ διά την επίλυσιν σχεδιαστικών προβλημάτων, πράγμα που – ως φαίνεται – αγνοούν (ή, παραβλέπουν) πολλοί μαθηματικοί.»
Της έδειξα ένα σχέδιο που είχα από παλιά (αφορούσε ένα από τα πολλά προβλήμα των υπερθύρων):
Δύο 4-εδρα, το δεύτερο, κανονικό.
Όταν τελείωσα, είπα:
«Εάν δύο ξυλουργοί σας έδειχναν, έκαστος έκαστο σχέδιο, ποίον θα θεωρούσατε αξιοπιστότερο;»
«Η ερώτηση, βεβαίως, είναι ...ρητορική», έκαμε.
Κατόπιν, ενεθυμήθη:
«Αλλά, έχετε να μου πείτε... όλα, εκείνα, τα οποία,... εάν τα “μαρτυρήσω”, θα με διαψεύσετε...»
«Όχι ακόμη... Ακούστε, πρώτα, αυτό:
Εσείς, όλα αυτά που κάμνω, ενώπιόν σας και που έχετε την υπομονή να τα παρακολουθείτε, μπορεί να θεωρείτε αμελητέα – και, ίσως, να είναι...»
«Κάθε άλλο» , με διεβεβαίωσε πλην όχι πολύ πειστικά.
Συνέχισα:
«Εγώ όμως, έχω κοπιάσει πολύ διά να τα μάθω...:
Μελετάω,... μελετάω το κάθε τι που μου προκύπτει...
Και δεν μελετώ, μόνο αλλά, και διαβάζω... και, ρωτάω,... ρωτάω όποιον βρίσκω και έχει την καλή διάθεση να μου πει...: Πολλές εκ των γνώσεών μου είναι – όπως λέγω: «Εξ ερανισμάτων».»
Μου χαμογέλασε:
«Οι δικές μου, είναι, σχεδόν όλες...: «Εξ ερανισμάτων».»
Εσκέφθη και εξήγησε:
«Ίσως όμως, αυτό, να οφείλεται στην διαφορετική φύση των εργασιών μας:
- Εμείς (οι μαθηματικοί), πρώτα μαθαίνουμε την θεωρία και έπειτα αναζητούμε “κάποιες εφαρμογές”.
- Εσείς (οι ξυλουργοί), έχετε μπροστά σας την εφαρμογή (το εκάστοτε πρόβλημα) και αναζητείτε τρόπο επίλυσής του.
Μ΄ εκοίταξε διστακτικά:
«Είναι, ακριβώς, όπως τα είπατε», την διεβεβαίωσα.
«Αλλά», συνέχισε, «εσείς (δηλαδή, εσύ), έχετε το “ταλέντο” της αυτοδιδαχής... αυτό, φαίνεται εκ του αποτελέσματος.»
Μου αρέσουν οι έπαινοι αλλ΄, όχι οι ...άδικοι:
«Εσείς, βλέπετε όσα γνωρίζω και, αυτά, σας κρύβουν όσα αγνοώ... Βλέπετε όσα ευρίσκω και όχι, όσα δεν μπορώ να εύρω...»
«Μα τί λέτε; Τώρα, μόλις, δείξατε το “ταλέντο” σας...»
Μου έδωσε την ευκαιρία ή, όπως λέγουν μερικοί: «την πάσα» :
«Είδατε, λοιπόν, πόσα μπορεί να μάθει κάποιος, μόνο και μόνο, επειδή έχει την “μανία” της ακριβούς σχεδιάσεως...:
Διότι, σε τί θα μου χρειαζόταν, εμένα, ο υπολογισμός (π.χ.) του ύψους του 4-έδρου, εάν επρόκειτο να σχεδιάσω μία “καρικατούρα”;»
Δεν ωμίλησε, οπότε, συνέχισα:
Αυτή, η “μανία”, μου έχει επιτρέψει να εξασκηθώ εις την χρήσιν των ελαχίστων γεωμετρικών γνώσεων που διαθέτω, προς επίλυσιν σχεδιαστικών προβλημάτων, πράγμα που αγνοούν πολλοί συνάδελφοί μου. Και, τελώ εν επιγνώσει του ότι, η γεωμετρία, χρειάζεται ΚΑΙ διά την επίλυσιν σχεδιαστικών προβλημάτων, πράγμα που – ως φαίνεται – αγνοούν (ή, παραβλέπουν) πολλοί μαθηματικοί.»
Της έδειξα ένα σχέδιο που είχα από παλιά (αφορούσε ένα από τα πολλά προβλήμα των υπερθύρων):
76η εικών:
Rγαλάζιου / Rκόκκινου / rκίτρινου = 4 / 2 / 1.
«Το γεγονός», είπα, «ότι η ακτίνα του “κόκκινου” κύκλου είναι η μισή της ακτίνος του “γαλάζιου”, το αντιλαμβάνεται ο κάθε ξυλουργός. Αλλ΄, εάν θέλει να τοποθετήσει, μέσα στο σχέδιο, και τον “κίτρινο” (συνήθως) ...θα “το ρίξει” στις δοκιμές (αυτή, είναι η πραγματική «περιττή απώλεια χρόνου»):
Δεν φαντάζεται ότι η ακτίνα, αυτού, του “κίτρινου” κύκλου, η r, μπορεί να υπολογιστεί, συναρτήσει της ακτίνος, R, του “κόκκινου”. Και δεν ξέρει ότι, εάν η r υπολογισθεί, τότε, το κέντρο του “κίτρινου” κύκλου θα μπορεί να ευρεθεί, αφού θα απέχει r από την διάμετρο του ημικυκλίου και θα ευρίσκεται επί ενός κύκλου ομοκέντρου του κοκκίνου και ακτίνος R+r.»
Ωμίλησε με θαυμασμό:
«Βρήκατε αυτό... και λέτε ότι έχετε ελάχιστες γνώσεις;»
Διευκρίνισα:
«Δεν το βρήκα... Φαντάστηκα ότι, μπορεί να ευρεθεί... Είπα το γνωστό ...«ρε, μπας και βρίσκεται;» – αυτό είναι το πιο σημαντικό... Αλλά, την λύση, μου την έδειξε κάποιος μαθηματικός – πάνε χρόνια, έκτοτε... Εγώ, μόνος μου, δεν είχα καταφέρει παρά, μόνον αυτό, εδώ:»
Rγαλάζιου / Rκόκκινου / rκίτρινου = 4 / 2 / 1.
«Το γεγονός», είπα, «ότι η ακτίνα του “κόκκινου” κύκλου είναι η μισή της ακτίνος του “γαλάζιου”, το αντιλαμβάνεται ο κάθε ξυλουργός. Αλλ΄, εάν θέλει να τοποθετήσει, μέσα στο σχέδιο, και τον “κίτρινο” (συνήθως) ...θα “το ρίξει” στις δοκιμές (αυτή, είναι η πραγματική «περιττή απώλεια χρόνου»):
Δεν φαντάζεται ότι η ακτίνα, αυτού, του “κίτρινου” κύκλου, η r, μπορεί να υπολογιστεί, συναρτήσει της ακτίνος, R, του “κόκκινου”. Και δεν ξέρει ότι, εάν η r υπολογισθεί, τότε, το κέντρο του “κίτρινου” κύκλου θα μπορεί να ευρεθεί, αφού θα απέχει r από την διάμετρο του ημικυκλίου και θα ευρίσκεται επί ενός κύκλου ομοκέντρου του κοκκίνου και ακτίνος R+r.»
Ωμίλησε με θαυμασμό:
«Βρήκατε αυτό... και λέτε ότι έχετε ελάχιστες γνώσεις;»
Διευκρίνισα:
«Δεν το βρήκα... Φαντάστηκα ότι, μπορεί να ευρεθεί... Είπα το γνωστό ...«ρε, μπας και βρίσκεται;» – αυτό είναι το πιο σημαντικό... Αλλά, την λύση, μου την έδειξε κάποιος μαθηματικός – πάνε χρόνια, έκτοτε... Εγώ, μόνος μου, δεν είχα καταφέρει παρά, μόνον αυτό, εδώ:»
77η εικών:
Πόση είναι η r;
«Μα, έκαμε έκπληκτη», όταν είδε το σχήμα, «εδώ, που το φτάσατε, θα ήταν ευκολότατο, να το λύσετε.»
«Αυτό μου είπε και ο μαθηματικός...»
«Και, λοιπόν,... δεν τον πιστέψατε;»
«Τον επίστεψα και ...πήγα και το έλυσα... Ιδού:»
Έγραψα αλάνθαστα, αυτά που ακολουθούν:
r2 = (2R – r)2 – x2 = 4R2 – 4Rr + r2 – x2. Αλλά:
x2 = (R + r)2 – (R – r)2 = 4Rr. Επομένως:
r2 = 4R2 – 4Rr + r2 – 4Rr ή, 8Rr = 4R2 ή, r = R/2.
Όταν τα είδε, είπε:
«Έ, και γιατί είπατε πως δεν το λύσατε εσείς;»
«Δεν είπα ότι δεν το έλυσα. Είπα ότι δεν το βρήκα:
Άλλος, βρήκε την λύση και μού 'πε: «εδώ είναι». Ε, μετά από αυτό, το πρόβλημα έγινε ...“σχολική άσκηση”...»
«Μήπως σας είπε και το αποτέλεσμα;...»
«Μα, πώς να μου πει το αποτέλεσμα; Αφού δεν το ήξερε... Και... εδώ, είναι το ζήτημα: –Ούτε που τον ενδιέφερε, καλά-καλά... Του αρκούσε ότι ήξερε τον τρόπο δια του οποίου ευρίσκεται...»
Γέλασε και είπε:
«Τυπική (αν και ακραία) συμπεριφορά μαθηματικού. Αλλά, θέλω να σας ρωτήσω κάτι, πολύ σημαντικό:
–Εσείς, πως φτιάξατε το σχήμα προτού να έχετε επιλύσει το πρόβλημα;»
«Ντρέπομαι να πω... ότι το επέτυχα με δοκιμές... δηλαδή, στη θέση του ζητουμένου κύκλου, τοποθετούσα... ένα τάλληρο,... ένα δίφραγκο,... μιά ροδέλα... κτλ και, έβλεπα...»
Αίφνης, η εντροπή μου, μετετράπη εις ...έπαρσιν και επίδειξη:
« Αλλά, θα ντρεπόμουν περισσότερο εάν δεν τις είχα κάμει και αν ήμουν ευχαριστημένος με την “καρικατούρα” που θα σας δείξω...
Γι΄ αυτό, παρόμοιες ερωτήσεις, άλλοι προηγούνται διά να τις απαντήσουν...»
Πόση είναι η r;
«Μα, έκαμε έκπληκτη», όταν είδε το σχήμα, «εδώ, που το φτάσατε, θα ήταν ευκολότατο, να το λύσετε.»
«Αυτό μου είπε και ο μαθηματικός...»
«Και, λοιπόν,... δεν τον πιστέψατε;»
«Τον επίστεψα και ...πήγα και το έλυσα... Ιδού:»
Έγραψα αλάνθαστα, αυτά που ακολουθούν:
r2 = (2R – r)2 – x2 = 4R2 – 4Rr + r2 – x2. Αλλά:
x2 = (R + r)2 – (R – r)2 = 4Rr. Επομένως:
r2 = 4R2 – 4Rr + r2 – 4Rr ή, 8Rr = 4R2 ή, r = R/2.
Όταν τα είδε, είπε:
«Έ, και γιατί είπατε πως δεν το λύσατε εσείς;»
«Δεν είπα ότι δεν το έλυσα. Είπα ότι δεν το βρήκα:
Άλλος, βρήκε την λύση και μού 'πε: «εδώ είναι». Ε, μετά από αυτό, το πρόβλημα έγινε ...“σχολική άσκηση”...»
«Μήπως σας είπε και το αποτέλεσμα;...»
«Μα, πώς να μου πει το αποτέλεσμα; Αφού δεν το ήξερε... Και... εδώ, είναι το ζήτημα: –Ούτε που τον ενδιέφερε, καλά-καλά... Του αρκούσε ότι ήξερε τον τρόπο δια του οποίου ευρίσκεται...»
Γέλασε και είπε:
«Τυπική (αν και ακραία) συμπεριφορά μαθηματικού. Αλλά, θέλω να σας ρωτήσω κάτι, πολύ σημαντικό:
–Εσείς, πως φτιάξατε το σχήμα προτού να έχετε επιλύσει το πρόβλημα;»
«Ντρέπομαι να πω... ότι το επέτυχα με δοκιμές... δηλαδή, στη θέση του ζητουμένου κύκλου, τοποθετούσα... ένα τάλληρο,... ένα δίφραγκο,... μιά ροδέλα... κτλ και, έβλεπα...»
Αίφνης, η εντροπή μου, μετετράπη εις ...έπαρσιν και επίδειξη:
« Αλλά, θα ντρεπόμουν περισσότερο εάν δεν τις είχα κάμει και αν ήμουν ευχαριστημένος με την “καρικατούρα” που θα σας δείξω...
Γι΄ αυτό, παρόμοιες ερωτήσεις, άλλοι προηγούνται διά να τις απαντήσουν...»
78η εικών:
Πρόκειται περί μίας “ατζαμήδικης” “καρικατούρας”.
(Όχι, τόσο “ατζαμήδικης” που να ενοχλεί,
...ακόμη και τους “ατζαμήδες”)
Μόλις είδε το σχήμα, με ...επήνεσε:
«Η “καρικατούρα” σας είναι πολύ καλλίτερη από το “20-εδρο” που είδαμε προηγουμένως.»
Εγώ, είπα άλλο:
«Και, τώρα, ήλθε η ώρα να σας πως τα ...“άρρητα”:»
Ενώ, εκείνη, έγειρε προς το μέρος μου “συνωμοτικά”, άρχισα:
«Την επίγνωση ότι οι γεωμετρικές γνώσεις είναι απαραίτητες διά την ακριβή σχεδίαση, δυστυχώς, δεν μπορεί να την αποκτήσει (δηλαδή, εμποδίζεται...) όποιος επιδίδεται εις την “τσαπατσουλιά”, εκ συστήματος, ενίοτε, υπό το πρόσχημα ότι, δήθεν, το μόνο που έχει σημασία είναι η απόδειξη.»
Έγνευε καταφατικώς.
«Αλλά, αυτήν την επίγνωση, δεν μπορεί να μην την έχει αποκτήσει όποιος... όποιος απετόλμησε να γράψει ένα βιβλίο γεωμετρίας. –Έτσι δεν είναι;»
Κατένευσε.
«Άρα, κατά (υποτιθεμένη) συνέπεια, έχει αποκτήσει και τις γνώσεις που χρειάζονται διά να σχεδιάσει ορθώς – γνώσεις που ούτως ή, άλλως πρέπει να τις έχει ανεξαρτήτως του αν θα κάμει το παραμικρό σχήμα. –Έτσι δεν είναι;»
Με κοίταξε έντονα και είπε:
«Νομίζω ότι, κάπου “το πάτε”...»
«Θα δείτε:
Εδίστασα προτού απαντήσω:
«Ααα, ...κοιτάξτε:
Εγώ είμαι ένας αμαθής, γέρων, ξυλουργός...»
«Ε, όχι και αμαθής... χμμμ... ούτε και γέρος... Ή, μήπως, έπρεπε να τα πω ανάποδα;»
«Τα ψεύδη, όπως και να τα πεις, ανάποδα είναι...»
Όπως ήτο φυσικόν, δεν επέμεινε. Αλλ΄ ερώτησε:
«Όμως, πέστε μου:
Για ποιά «επικίνδυνη κατάσταση» μου μιλάτε;»
Πήρα ύφος δυσαναλόγως σοβαρό και είπα:
«Εάν, κατέκρινα (“ανοιχτά”) αυτούς που γράφουν τα σχολικά βιβλία αμειβόμενοι διά των χρημάτων όλου του λαού, δεν θα εστρέφετο εναντίον μου, όλος, αυτός ο λαός που τους αμείβει;»
Αυτή μεν εγέλασε εγώ δε συνέχισα:
«Εάν, εγώ, έλεγα ότι διά να μάθουν οι συγγραφείς να κάμνουν ακριβή σχήματα θα έπρεπε να θητεύσουν, επ΄ αρκετόν, εις ένα καλό ξυλουργείο ποίος θα μου έδιδε σημασία;
Το πιθανότερο (και το λιγότερο), θα ήταν να με αποκαλούν αυτό ακριβώς που είπα προηγουμένως:
«Αμαθή», «αγράμματο» κτλ, ήτοι, αναρμόδιο διά να κρίνω, να προτείνω κτλ...
Οι “ειδικοί” θα έκραζαν:
«Με ποιά εφόδια μιλάς εσύ;»
Λοιπόν, κι´ εγώ, παραδέχομαι εξ υπαρχής την αγραμματοσύνη μου...»
«Άρα, πρόκειται περί “πονηριάς”...», συνεπέρανε.
«Αλλά», συνέχισε, «δεν φαίνεστε σαν άνθρωπος που “το βάζει κάτω”, δηλαδή, που προσφεύγει στη φυγοδικία... Οπότε;...:»
«Οπότε – “πονηρός” ων – προσφεύγω εις την επίκληση ενός μάρτυρος αξιοπιστοτέρου εμού και πολλών άλλων (ας μη λέμε ονόματα):
Αυτού τούτου του Ευκλείδου:»
Εξακολούθησα:
«Αφού, κάποιοι συγγραφείς, γράφουν “γεωμετρίες” «θεωρητικές» και «Ευκλείδειες»,... ε, κι΄ εγώ, τις συγκρίνω με, αυτήν ταύτην, την θεωρία του Ευκλείδου.
Νομίζω δε ότι, ουδείς μέχρι τούδε έχει αμφισβητήσει την θεωρητικότητα ή, την επιστημοσύνη του. (–Ή, μήπως, όχι;)
Άλλο, το αν την υπονομεύουν “στη ζούλα”. (–Ή, μήπως, όχι;)»
...
Εν όσω “αγόρευα” είχα παρατηρήσει ότι κοιτούσε διαρκώς, “κλεφτά” και με ανησυχία, το φορητό της τηλέφωνο. Θεώρησα ευγενικό να μη προσέξω ιδιαιτέρως και ...διέπραξα αγένεια διότι εκείνο που κοιτούσε (το συνεπέρανα εκ των υστέρων) ήταν η ώρα:
«Αυτά που θα μου πείτε για τον Ευκλείδη, είναι πολλά;»
«Μάλιστα. Και αποδεικνύουν ότι αποδίδει πολύ μεγάλη σημασία εις την ακριβή κατασκευή των σχημάτων: Τόση, ώστε διά την επίλυση ενός προβλήματος υποδεικνύει συγκεκριμένη διαδικασία – την καταλληλοτέρα διά την επίτευξη, αυτής της ακριβείας, μίας ακριβείας η οποία προσομοιάζει και προς την μαστορική.»
Επήρα κάποια “σουβέρ” που ήσαν παρέκει, τα “έριξα” μεταξύ μας (πιο πολύ προς το μέρος της) και είπα αυτό που συνοδεύει την εικόνα που ακολουθεί:
Πρόκειται περί μίας “ατζαμήδικης” “καρικατούρας”.
(Όχι, τόσο “ατζαμήδικης” που να ενοχλεί,
...ακόμη και τους “ατζαμήδες”)
Μόλις είδε το σχήμα, με ...επήνεσε:
«Η “καρικατούρα” σας είναι πολύ καλλίτερη από το “20-εδρο” που είδαμε προηγουμένως.»
Εγώ, είπα άλλο:
«Και, τώρα, ήλθε η ώρα να σας πως τα ...“άρρητα”:»
Ενώ, εκείνη, έγειρε προς το μέρος μου “συνωμοτικά”, άρχισα:
«Την επίγνωση ότι οι γεωμετρικές γνώσεις είναι απαραίτητες διά την ακριβή σχεδίαση, δυστυχώς, δεν μπορεί να την αποκτήσει (δηλαδή, εμποδίζεται...) όποιος επιδίδεται εις την “τσαπατσουλιά”, εκ συστήματος, ενίοτε, υπό το πρόσχημα ότι, δήθεν, το μόνο που έχει σημασία είναι η απόδειξη.»
Έγνευε καταφατικώς.
«Αλλά, αυτήν την επίγνωση, δεν μπορεί να μην την έχει αποκτήσει όποιος... όποιος απετόλμησε να γράψει ένα βιβλίο γεωμετρίας. –Έτσι δεν είναι;»
Κατένευσε.
«Άρα, κατά (υποτιθεμένη) συνέπεια, έχει αποκτήσει και τις γνώσεις που χρειάζονται διά να σχεδιάσει ορθώς – γνώσεις που ούτως ή, άλλως πρέπει να τις έχει ανεξαρτήτως του αν θα κάμει το παραμικρό σχήμα. –Έτσι δεν είναι;»
Με κοίταξε έντονα και είπε:
«Νομίζω ότι, κάπου “το πάτε”...»
«Θα δείτε:
- Γνωρίζω ότι τα σχολικά βιβλία τα ανα“γιγνώσκουν”, εκατομμύρια μαθητές...
- Γνωρίζω ακόμη πως χρειάζεται ελάχιστος κόπος και χρόνος διά να αποφευχθούν οι σχεδιαστικές “τσαπατσουλιές” (όπως αυτές που είδαμε) συγκρινόμενος με τον χρόνο και τον κόπο που θα καταβάλουν οι μαθητές που θα τις υποστούν... Άρα, η ύπαρξη “τσαπατσουλιών” εις τα σχολικά βιβλία, είναι εντελώς παράλογη... εκτός και αν είναι “θεωρητική”, “διδακτική” “άποψη”. Δεν μπορώ να εξηγήσω ικανοποιητικώς αυτήν την “άποψη” ή, διά να είμαι ειλικρινής, οι εξηγήσεις που δίδω, με περιάγουν εις επικίνδυνη κατάσταση...»
Εδίστασα προτού απαντήσω:
«Ααα, ...κοιτάξτε:
Εγώ είμαι ένας αμαθής, γέρων, ξυλουργός...»
«Ε, όχι και αμαθής... χμμμ... ούτε και γέρος... Ή, μήπως, έπρεπε να τα πω ανάποδα;»
«Τα ψεύδη, όπως και να τα πεις, ανάποδα είναι...»
Όπως ήτο φυσικόν, δεν επέμεινε. Αλλ΄ ερώτησε:
«Όμως, πέστε μου:
Για ποιά «επικίνδυνη κατάσταση» μου μιλάτε;»
Πήρα ύφος δυσαναλόγως σοβαρό και είπα:
«Εάν, κατέκρινα (“ανοιχτά”) αυτούς που γράφουν τα σχολικά βιβλία αμειβόμενοι διά των χρημάτων όλου του λαού, δεν θα εστρέφετο εναντίον μου, όλος, αυτός ο λαός που τους αμείβει;»
Αυτή μεν εγέλασε εγώ δε συνέχισα:
«Εάν, εγώ, έλεγα ότι διά να μάθουν οι συγγραφείς να κάμνουν ακριβή σχήματα θα έπρεπε να θητεύσουν, επ΄ αρκετόν, εις ένα καλό ξυλουργείο ποίος θα μου έδιδε σημασία;
Το πιθανότερο (και το λιγότερο), θα ήταν να με αποκαλούν αυτό ακριβώς που είπα προηγουμένως:
«Αμαθή», «αγράμματο» κτλ, ήτοι, αναρμόδιο διά να κρίνω, να προτείνω κτλ...
Οι “ειδικοί” θα έκραζαν:
«Με ποιά εφόδια μιλάς εσύ;»
Λοιπόν, κι´ εγώ, παραδέχομαι εξ υπαρχής την αγραμματοσύνη μου...»
«Άρα, πρόκειται περί “πονηριάς”...», συνεπέρανε.
«Αλλά», συνέχισε, «δεν φαίνεστε σαν άνθρωπος που “το βάζει κάτω”, δηλαδή, που προσφεύγει στη φυγοδικία... Οπότε;...:»
«Οπότε – “πονηρός” ων – προσφεύγω εις την επίκληση ενός μάρτυρος αξιοπιστοτέρου εμού και πολλών άλλων (ας μη λέμε ονόματα):
Αυτού τούτου του Ευκλείδου:»
Εξακολούθησα:
«Αφού, κάποιοι συγγραφείς, γράφουν “γεωμετρίες” «θεωρητικές» και «Ευκλείδειες»,... ε, κι΄ εγώ, τις συγκρίνω με, αυτήν ταύτην, την θεωρία του Ευκλείδου.
Νομίζω δε ότι, ουδείς μέχρι τούδε έχει αμφισβητήσει την θεωρητικότητα ή, την επιστημοσύνη του. (–Ή, μήπως, όχι;)
Άλλο, το αν την υπονομεύουν “στη ζούλα”. (–Ή, μήπως, όχι;)»
...
Εν όσω “αγόρευα” είχα παρατηρήσει ότι κοιτούσε διαρκώς, “κλεφτά” και με ανησυχία, το φορητό της τηλέφωνο. Θεώρησα ευγενικό να μη προσέξω ιδιαιτέρως και ...διέπραξα αγένεια διότι εκείνο που κοιτούσε (το συνεπέρανα εκ των υστέρων) ήταν η ώρα:
«Αυτά που θα μου πείτε για τον Ευκλείδη, είναι πολλά;»
«Μάλιστα. Και αποδεικνύουν ότι αποδίδει πολύ μεγάλη σημασία εις την ακριβή κατασκευή των σχημάτων: Τόση, ώστε διά την επίλυση ενός προβλήματος υποδεικνύει συγκεκριμένη διαδικασία – την καταλληλοτέρα διά την επίτευξη, αυτής της ακριβείας, μίας ακριβείας η οποία προσομοιάζει και προς την μαστορική.»
Επήρα κάποια “σουβέρ” που ήσαν παρέκει, τα “έριξα” μεταξύ μας (πιο πολύ προς το μέρος της) και είπα αυτό που συνοδεύει την εικόνα που ακολουθεί:
79η εικών:
«Του δοθέντος κύκλου το κέντρον ευρείν.»
Πηγή: http://en.wikipedia.org/wiki/Beverage_coaster
Με διέκοψε κάπως απότομα και ...μαλακά (πως γίνεται αυτό, δεν ξέρω):
«Αχ, σας παρακαλώ, αυτά, να μου τα πείτε μία άλλη φορά...»
«Μα, διά τί; Τί συνέβη;»
«Αυτό που συνέβη είναι ότι θα έπρεπε, ήδη, να έχω φύγει.»
«Μα», αντέτεινα, «δεν έχουμε συνεννοηθεί απολύτως...»
Εννοούσα, σχετικώς προς τα πολύεδρα.
«Στις σχέσεις των ανθρώπων», μου είπε, «το «σχετικώς» είναι καλλίτερο από το «απολύτως»...»
Εννοούσε, σχετικώς προς τις συνεννοήσεις μας...
«Του δοθέντος κύκλου το κέντρον ευρείν.»
Πηγή: http://en.wikipedia.org/wiki/Beverage_coaster
Με διέκοψε κάπως απότομα και ...μαλακά (πως γίνεται αυτό, δεν ξέρω):
«Αχ, σας παρακαλώ, αυτά, να μου τα πείτε μία άλλη φορά...»
«Μα, διά τί; Τί συνέβη;»
«Αυτό που συνέβη είναι ότι θα έπρεπε, ήδη, να έχω φύγει.»
«Μα», αντέτεινα, «δεν έχουμε συνεννοηθεί απολύτως...»
Εννοούσα, σχετικώς προς τα πολύεδρα.
«Στις σχέσεις των ανθρώπων», μου είπε, «το «σχετικώς» είναι καλλίτερο από το «απολύτως»...»
Εννοούσε, σχετικώς προς τις συνεννοήσεις μας...
No comments:
Post a Comment