10. Περί της μαστοριάς του Ευκλείδου. [Μέρος Ι, Κεφ. 1 (25/11/13)]

Μετάβαση εις τα σχόλια:

Αρχικό...

Τελικό...

                 

10. Περί της μαστοριάς του Ευκλείδου.

                  Δεν γνωρίζω εάν οι σχέσεις των ανθρώπων καθορίζουν τις συνεννοήσεις τους ή,... εάν ισχύει το αντίστροφο ή/και (μάλλον) κάτι παρόμοιο με την αλληλεπίδραση κόττας και αυγού...
         Πάντως, η σχέση μου με την συγκεκριμένη καθηγήτρια των μαθηματικών (έστω και διά συμπτώσεων) επέδρασε... (τουλάχιστον) επί των πραγμάτων με τα οποία ασχολούμαι και με απασχολούν, αυτήν την περίοδο:
         ...
         Την επομένη φορά που με επισκέφτηκε ήταν κεφάτη και διαχυτική. Μετά τους παρατεταμένους, χαιρετισμούς μου είπε:
         «Μου κάνετε την χάρη, όσο είμαστε μαζί, να μη πιάνετε το τηλέφωνο;... Ας το σηκώνει ο βοηθός σας, ή/και ...εγώ.»
         «Αμ, μήπως κτυπάει και ποτέ;... Αλλά, διά τί το θέλετε αυτό;»
         «Θα πάρω στο σχολείο μου, και θα τους πω ότι ...δεν σας βρήκα και πως σας περιμένω...»
         Δεν κατάλαβα και το έδειξα.
         Μου εξήγησε:
         «Βλέπετε, όταν “χασομεράω” (π.χ., περιμένοντας, κάτι) με πληρώνουν... –Όταν επιμορφώνομαι, δεν με πληρώνουν.»
         Δεν το είπε διά να με κολακεύσει και ούτε κολακεύτηκα.
         Με απασχολούσαν κάποιες εκκρεμότητες από την προηγουμένη συνάντησή μας.
         Όταν τακτοποίησε την δική της “εκκρεμότητά”, με το σχολείο, την ενημέρωσα διά την πορεία των εργασιών... σχετικώς με τα πολύεδρα... Δηλαδή, όσο πρόλαβα... διότι, “με πρόλαβε”:
         «Μετά, μου τα λέτε, αυτά... Τώρα, θέλω να μου πείτε εκείνα που είχατε αρχίσει, για τον Ευκλείδη...»
         «Δεν τελειώνουμε πρώτα με τα εύκολα...;», της πρότεινα. «Τα σχετικά με τον Ευκλείδη, ίσως να μας προκαλέσουν “δυσκολίες”...»
         «Αχ,... αφού σας είπα: Τώρα, “λείπετε”... –Αυτά, με τα πολύεδρα, θα μου τα πείτε μόλις “γυρίσετε”... »
         Χαμογέλασα...:
         «Ίσως να διαπιστώσετε ότι, όντως, λείπω... Διότι δεν ενθυμούμαι, επακριβώς, τι ήθελα να σας πω περί του Ευκλείδου...:
         Εσείς, ενθυμείσθε κάτι;»
         «Εμ, κι΄ εγώ, πού να ξέρω «επακριβώς»; –Πάντως, ήταν κάτι σχετικό με την σχεδιαστική ακρίβεια...»
         «Χμμμ... Τέτοια ζητήματα, εις τον Ευκλείδη, υπάρχουν πολλά, αλλά – θυμάμαι ότι – αυτό που είχα στο μυαλό μου ήταν πολύ σχετικό με κάτι που σας είχα πει...»
         «Από εκείνα που μου είχατε πει, την μεγαλύτερη εντύπωση μου είχε κάνει ο τρόπος με τον οποίο φτιάξατε την τετραγωνική ρίζα... (με τον «περίφημο» μηχανισμό σας)... Α, ναι... και αυτή η ιστορία με τον πλακωμένο κύκλο... (Λέω να την βάλω άσκηση στους μαθητές μου.)»
         «Ααα... ναι» (“πήρα μπροστά”). «Ο μηχανισμός, βεβαίως, στηρίζεται στις ίδιες παρατηρήσεις που στηρίζεται και η εύρεση του κέντρου του “καταπλακωμένου κύκλου”...»
         «Για τον Ευκλείίίδη πείίίτε μου», έκαμε με ένα “νάζι” ...ηλικιακώς μεταχρονολογημένο.
         «Αυτός, λοιπόν, ο Ευκλείδης, το πρώτο πρόβλημα που επιλύει όταν εξετάζει τον κύκλο είναι, η εύρεση του κέντρου ενός κύκλου που ...δεν είναι καταπλακωμένος. Το πρόβλημα, είναι (κατά λέξιν) το εξής:
         «Του δοθέντος κύκλου το κέντρον ευρείν».»
         «Αααα», ενεθυμήθη, «από τον Ευκλείδη, λοιπόν, το έχουν πάρει όλοι αυτοί που το δημοσιεύουν...»
         «Και πράττουν ανοήτως», συνεπλήρωσα και εξήγησα:
         «Συμφώνως προς τις σημερινές παραδοχές, ο κύκλος ορίζεται ως γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από ένα σημείο, Ο.  Εξ ου και η συμβολική διατύπωση: «Κύκλος (Ο, R)» δηλαδή: «...κέντρου Ο και ακτίνος R».
         «Λοιπόν», συνέχισα, «είναι αδύνατον να υπάρχει κύκλος χωρίς κέντρο, άρα, είναι ανόητο να ζητάς το κέντρο ενός δοθέντος κύκλου.»
         «Και ο Ευκλείδης πώς το ζητάει;...»
         « Χμμμ,...: Κατ´ αρχάς ο τρόπος διά του οποίου, ο Ευκλείδης, ορίζει τον κύκλο είναι τέτοιος ώστε, υπάρχει μεν το κέντρο του, το Ο, αλλά, η θέση του μπορεί να μην είναι γνωστή – εκτός και αν, ο κύκλος, έχει κατασκευαστεί διά της χρήσεως αυτού του Ο (3ον αίτημα: «Και παντί κέντρω και διαστήματι κύκλος γράφεσθαι»).»
         «Δηλαδή, στον Ευκλείδη, υπάρχουν κύκλοι χωρίς κέντρα;»
         «Χμμμ,...: Κατ΄ αρχάς, αυτοί, υπάρχουν εις την φύσιν, π.χ. ο ήλιος ή, η σελήνη... ή, σε μία λίμνη, όταν ρίχνεις ένα βότσαλο:
         Οι κύκλοι φαίνονται, το κέντρο τους όμως, όχι...»
         Δεν φάνηκε να πείθεται...:
         «Αγαπητή μου, θα σου προσθέσω και κάτι άλλο.»
         Έκαμα μία, σκόπιμη, μικρή σιωπή και είπα:
         «Υπάρχουν και στα έργα της μαστοριάς των ανθρώπων:
         Λόγου χάριν, η κυκλική πίστα που σας ανέφερα ή και ένα κυκλικό πινάκιο που έχει φτιαχτεί εις τον τροχό του κεραμέως...
         Ακόμη, υπάρχουν τόσα και τόσα αντικείμενα που προσφέρονται υπό μορφήν κυκλικών δίσκων (ξυλίνων, ορειχαλκίνων, κρυσταλλίνων) διά περαιτέρω κατεργασία... Π.χ. υπάρχει ένα κυκλικό “καπάκι” τραπεζιού... Το παίρνεις έτοιμο, παίρνεις και τα πόδια και το μοντάρεις. Αυτά τα αντικείμενα δεν έχουν, σημαδεμένο το κέντρο τους (διότι έχουν κατασκευασθεί διά διαδικασίας που δεν το απαιτεί)... Πρέπει, αυτός που θα τα προμηθευτεί, να γνωρίζει πως να το βρει...»        
       

        

80η εικών:

«Του δοθέντος κύκλου το κέντρον ευρείν.»

        Η άλλη, είπε άλλο:
         «Επιμένετε, ως συνήθως, ότι η γεωμετρία είναι... είναι, κάτι σαν, μία επιστήμη ...“μαστορική”.»
         «Αγαπητή μου, τώρα συζητούμε άλλο: Το συγκεκριμένο πρόβλημα της εύρεσης του κέντρου του δοθέντος κύκλου:
         Και ας υποθέσουμε ότι, ένας σημερινός μαθηματικός, π.χ., εσείς, έχετε να το επιλύσετε – παρ΄ ότι, ανόητο (όπως εξηγήσαμε):
         Δηλαδή έχετε ενώπιόν σας τα εξής:

• Μία γραμμή (Κ) (χωρίς να ξέρετε το πως προέκυψε).
• Την διαβεβαίωση ότι, η (Κ), είναι κύκλος. Και:

         Πρέπει να εύρετε το κέντρο του, Κ.»
         «Υποτίθεται», διευκρίνισε η μαθητικός, «ότι μπορούμε να πάρουμε οποιαδήποτε και οσαδήποτε σημεία θέλουμε, πάνω σε αυτή την καμπύλη (Κ).»
         «Εννοείται...»
         «Ε, τότε», είπε, «η λύση είναι απλούστατη...:
        Παίρνουμε τρία σημεία του (Κ), τα Α, Β, Γ και βρίσκουμε το κέντρο, Κ, του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. Το Κ είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων δύο εκ των τριών ευθυγρ... τμημάτων ευθειών, ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ.»
         «Μάλιστα», έκαμα, άχρωμα. Εκείνη επανέλαβε, συνοπτικότερα:
         «Το κέντρο του κύκλου, Κ, είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των ΑΒ και ΒΓ όπου Α, Β και Γ, σημεία του (Κ).»
         «Πολύ κομψή διατύπωση», είπα χωρίς ίχνος ειρωνείας.
         «Θα το κατασκευάσω», συνέχισε, «με τις ελάχιστες, κινήσεις, ώστε να ικανοποιήσω την απαίτησή σας για μαθηματική οικονομία:
         Λαμβάνω επί του (Κ) δύο τυχόντα σημεία Α και Β.
         Κατασκευάζω τον κύκλο (Α, ΑΒ), κέντρου Α και ακτίνας ΑΒ.
         Έστω Γ το δεύτερο εκτός του Β κοινό σημείο του (Α, ΑΒ) μετά του (Κ).
         Το κέντρο Κ του κύκλου (Κ) είναι το σημείο τομής των  μεσοκαθέτων των χορδών ΑΒ και ΑΓ...»
         Κατόπιν μικρής σιγής, σχολίασα/ερώτησα:
         «Πιστεύετε εις κάποια πρόνοιαν... “θείαν” ή,... “θεωρίαν”;»
         «Δεν αντιλαμβάνομαι...»
         «Θα σας το εξηγήσω με δύο σχήματα:»
         Κατεσκεύασα τα σχήματα που ακολουθούν και, διαρκούσης της κατασκευής, έθεσα την εξής ερώτηση:
         Πώς θα εξασφαλίσετε ότι, η εύρεση του Κ, θα επιτευχθεί με ακρίβεια καλλίτερη από αυτήν του πρώτου σχήματος και όχι χειρότερη από εκείνη του δευτέρου;»
         Ξερόβηξα λίγο και συνέχισα:
         «Και μη μου πείτε ότι δεν βλέπεται την διαφορά...»        
        

        

81η εικών:

Η εύρεση του κέντρου διά δύο μεσοκαθέτων:

Η ακρίβεια της θέση του Κ, εξαρτάται από την

(αρχική) επιλογή της των Α και Β.

         Όταν τελείωσε η σχεδίαση, η μαθηματικός είπε, με ειλικρίνεια:
         «Για την ακρίβεια, που με ρωτήσατε, θα σας πω το εξής:
         Εάν δεν μου το είχατε επισημάνει δεν θα έβλεπα καμμία διαφορά...»
         Αισθάνθηκε κάπως άσχημα και έσπευσε να συμπληρώσει:
         «Ούτως ή, άλλως όμως, (όπως έχουμε πει, εν εκτάσει) από την θεωρία (αυτή που πρεσβεύουμε, εμείς, οι μαθηματικοί) δεν απορρέει κάποια υποχρέωση να ελέγξουμε την ακρίβεια του σχήματος...»
         Δεν συνέχισε... Άρα, δεν χρειάστηκε να την διακόψω διά να πω:
         «Όλα αυτά, τα γνωρίζω... Αλλά τώρα εξετάζουμε το τι κάμνει ο θεωρητικός Ευκλείδης: Το πως, δηλαδή, αυτός, εξασφαλίζει την μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια. Και ιδού:
         Μέχρι την κατασκευή της μεσοκαθέτου, μ, της ΑΒ (η οποία είναι, πάντοτε, αρκετά ακριβής), κάμει τα αυτά μ΄ εσάς.
         Κατόπιν όμως, δεν  κατασκευάζει μία δευτέρα μεσοκάθετο, λέγοντας το γνωστό: «ομοίως» αλλά, κάμνει κάτι διαφορετικό:»
         Περίμενα ώσπου να ...απορήσει και είπα:
         «Ονομάζει Γ και Ε τα σημεία εις τα οποία, η μ, τέμνει τον δοθέντα κύκλο, θεωρεί το μέσον, Ζ, του ΓΔ και λέγει:
         «Λέγω ότι το Ζ, κέντρον εστί του κύκλου»...
         Τώρα, ας δούμε την επιτευχθείσα ακρίβεια:» 

82α εικών:

Η εύρεση του κέντρου Κ ενός κύκλου διά δύο μεσοκαθέτων:

Η ακρίβεια της θέσης του Κ, εξασφαλίζεται 

διά της ορθής (ευκλειδείου) μεθόδου.

         Όταν ολοκληρώθηκε το σχήμα, επηκολούθησαν τα σχετικά σχόλια, όπως π.χ. το δικό μου:
         «Η μέθοδος του Ευκλείδου δεν έχει τόσο “κομψή” διατύπωση, όπως η δική σας, αλλά, παρέχει την μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια.
         Μπορούμε να ενερωτηθούμε εάν, η επιτευχθείσα ακρίβεια, είναι “συμπτωματική” ή, αν, η όλη διαδικασία, ήταν “προμελετημένη” ώστε να επιφέρει το ακριβέστερο δυνατόν αποτέλεσμα. Και αν συμπεράνουμε το δεύτερο, ίσως, μπορούμε να δεχθούμε ότι αυτή η μέθοδος είναι υποδειγματική.»
         Το πλέον σημαντικό ήταν το σχόλιο της καθηγητρίας:
         «Ξέρω πως αυτό που θα πω είναι εκτός του “πνεύματος” που ισχύει σήμερα... αλλά, κοιτάξετε:
         Εάν τα αρχικά σημεία Α και Β ληφθούν πολύ κοντά... τότε η μεσοκάθετος του ΑΒ, η ΓΕ, δεν θα ορισθεί με ακρίβεια και, άρα, αυτή, μπορεί να μη περνάει από το κέντρο του (Κ). Δηλαδή, το μέσον της, το Ζ, δεν θα είναι το κέντρο του.»
         «Κυρία μου», την επαίνεσα, «μιλήσατε μαστορικά...»
         «Ευχαριστώ για την φιλοφρόνηση», είπε, «αλλά, εδώ, τι θα έλεγε ο Ευκλείδης;»
         «Κοιτάξετε:
         Ο Ευκλείδης δεν μπορεί να υποδείξει το που θα ληφθούν τα σημεία ώστε να μην είναι σχετικώς κοντά... (Δεν έχει θεωρητικά εργαλεία που να του επιτρέπουν να πει: «πιο 'δω» ή: «πιο 'κει».)
         Αλλά, ξέρει ότι όπου και να ληφθούν, τελικώς, θα συμβεί το εξής:
         Η ΓΕ, μπορεί να μην διέρχεται διά του κέντρου του κύκλου αλλά τα Γ και Ε θα απέχουν τόσο πολύ μεταξύ τους ώστε, εάν αυτά θεωρηθούν ως αρχικά... δηλαδή, εάν, αυτά, παίξουν τον ρόλο των Α και Β, αντιστοίχως η διαδικασία θα είναι η ακριβέστερη...»
         «Μου λέτε, δηλαδή, ότι η δεύτερη μεσοκάθετος, δεν είναι για να βρει το κέντρο αλλά για να βρει τα καταλληλότερα σημεία για την έναρξη της διαδικασίας...
         Άρα, η όλη διαδικασία θα έχει τρία “βήματα”– όχι, δύο.»
         «Μάλιστα... Γιατί όχι; –Πάντως, αυτό, είναι που αποκαλώ «μαστορική, ακρίβεια»...»
         Έθεσε μία καίρια ερώτηση:
         «Μήπως εννοείτε πως, όταν κάποιος τεχνίτης θέλει να βρει το κέντρο ενός κύκλου, εφαρμόζει αυτήν την μέθοδο, του Ευκλείδη;»
         Προσεπάθησα να θυμηθώ αυτά που έχω δει να κάμνουν διάφοροι συνάδελφοι διά την εύρεση του κέντρου ενός δίσκου.
         Τελικώς, απήντησα:
         «Όχι..., όχι, ακριβώς. Θα σας πω όμως, τα βήματα που ακολουθεί (κι΄ εγώ... ενίοτε) και θα συμπεράνετε μόνη σας:»
         1ον: Με τη βοήθεια ενός βαθμολογημένου κανόνος (υποδεκαμέτρου) “τραβάει” μία χορδή, (ε₁), η οποία να “περνάει” (“στο περίπου”) από το κέντρο του κύκλου. –Αυτό, το κάμνει “με το μάτι”. Κατόπιν, ορίζει το μέσον της, το Μ₁(με το υποδεκάμετρο).
         2ον: Διά του Μ₁ κατασκευάζει μία χορδή (ε₂), κάθετο επί την (ε₁) – αυτό, το κάμνει με το  τον γνώμονα, δηλαδή, την «γωνιά» (όπως την λέμε) – και ορίζει το μέσον της, το Μ₂.
         Ίσως (προς επαλήθευσιν) να επαναλάβει το 2ον βήμα...» 
                 

        

83η εικών:

Μέθοδος (σχηματοποιημένη) ευρέσεως

του κέντρου ενός δίσκου, δια δύο βημάτων.

         «Όπως βλέπετε», κατέληξα, «το μόνο που αλλάζει είναι ο τρόπος εύρεσης των μέσων ο οποίος, εννοείται, δεν είναι γεωμετρικός ή, μάλλον, δεν είναι ευκλείδειος, διότι εις την γεωμετρία που ονομάζε-ται «αναλυτική» (λες και η ευκλείδειος δεν είναι αναλυτική...), όλο... υποδεκάμετρο “δουλεύει”... (ειδεμή είναι πρακτικώς άχρηστη).»
         «Ε», παρετήρησε, «η χρήση του γνώμονα (της “γωνιάς”), μπορεί να είναι “μαστορική” αλλά, δεν είναι γεωμετρική... εννοώ: «ευκλείδεια».»
         «Ορθώς..., δηλαδή, “σχεδόν” ορθώς, διότι ο γνώμων (και για το τετράγωνο, όπως είπα όταν τον χρησιμοποίησα για την εύρεση της τετραγωνική ρίζης) κατασκευάζεται διά του κανόνος και του διαβήτου:
         –Διά τί, λοιπόν, να μη μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε περαιτέρω;
         –Και, αν ήταν να μη μπορούμε, τότε, διά τί, ο Ευκλείδης, “χαλαλίζει” ένα από τα πέντε αιτήματά του (το 4ον) διά να αιτηθεί όπως:
         «Και πάσας τα ορθάς γωνίας ίσας αλλήλαις είναι».»
         Κατόπιν, την διεβεβαίωσα:
         «Αυτό, ακριβώς, το αίτημα εφαρμόζουν οι ξυλουργοί, διά να ελέγξουν την ακρίβεια του γνώμονος (της “γωνιάς”) που χρησιμο-ποιούν:»
         «Αλήθεια;», έκαμε με δυσπιστία, η καθηγήτρια, «δεν το πιστεύω...»
         «Κοιτάξετε:
         Προκειμένου να ελεγχθεί μία υλική, ορθή γωνία, πρωτίστως, απαιτείται η ύπαρξη μίας υλοποιημένης ευθείας:
         Αυτή, η υλοποιημένη ευθεία μπορεί να είναι (π.χ.) η πλάκα μίας πλάνης (δηλαδή, μία ευθεία επ΄ αυτής) ή, η πλάκα του μηχανήματος που σας έχω δείξει, της “γωνιάστρας”. Εις αυτήν την πλάκα θα ακουμπήσουμε τα εξωτερικά μέρη των μικρών σκελών του γνώμονος που είναι και παχύτερα από τα μεγάλα και στέκονται...
         Αλλά, αντί να σας τα περιγράφω, θα σας τα δείξω...:»
                 

        

84η εικών:

Η ξυλουργική “γωνιά” με ένα σκέλος λεπτό και

ένα παχύ το οποίο της επιτρέπει να στέκεται “όρθια”.

Πηγή: http://en.wiktionary.org/wiki/carpenter%27s_square

        

        

85η εικών:

Εάν τα κατακόρυφα σκέλη των γνωμόνων Γ και Γ΄

είναι αντικείμενα και εφάπτονται ενώ,

τα οριζόντια “πατάνε” επί μίας επιπέδου πλακός

(όπως π.χ. αυτή της πλάνης), τότε, οι γωνίες τους

είναι ορθές ή, (πράγμα ...απίθανο) παραπληρωματικές.

         Η «υλοποιημένη ευθεία» μπορεί, ακόμη, να είναι η ακμή (πλανισμένη) ενός επιπέδου πίνακος (ενός «πάνελ» όπως λέγουν)εις την οποία θα εφάπτονται τα εσωτερικά μέρη των παχέων σκελών..»

        

        

86η εικών:

Το οριζόντιο τμήμα του γνώμονος Γ είναι εν επαφή

προς το οριζόντιο (πλανισμένο) μέρος του πίνακος (Π).

Εάν η ευθεία που ορίζει το κατακόρυφο σκέλος του Γ

όταν ευρίσκεται εις την 1ην θέσιν, ταυτίζεται με την ευθεία

που ορίζει όταν ευρίσκεται εις την 2αν θέσιν,

τότε, ο γνώμων, είναι ακριβής.

         Κατόπιν όλων αυτών, απεφάνθην:
         «Είναι πολύ καλό να διδασκόμεθα από την, εν γένει, μαστορική διάσταση της θεωρίας του Ευκλείδου ή, ορθότερα: από την μαστορική διάσταση αυτής της θεωρίας όπως την διατυπώνει (και) ο Ευκλείδης.
         Υπάρχουν δε πλείστα όσα παραδείγματα που με πείθουν ότι οι ξυλουργοί, εννοώ οι αληθεπώνυμοι – όχι οι σκιτζήδες – ενεργούν (ενίοτε, ασυνείδητα) συμφώνως προς τις αρχές της θεωρίας αυτής. Και αυτό, παρά την (δεδομένη) έλλειψη επαρκών γνώσεων.»
         Εις το σημείο αυτό, η φιλοξενουμένη μου, είπε τα εξής:
         «Δεν ξέρω εάν ο Ευκλείδης έγραψε την γεωμετρία του για ξυλουργούς και λοιπούς τεχνίτες αλλά, κατάλαβα ότι, ο τρόπος με τον οποίο μπορούν να τον κατανοήσουν αυτοί, είναι πολύ δημιουργικός και ότι θα ήταν διδακτικός και για τα παιδιά...
         Σας ευχαριστώ πολύ που μου τον υποδείξατε.»
                  

87η εικών:

Άγαλμα του Ευλείδου εις τη αλλοδαπήν Οξφόρδη

(Oxford University Museum of Natural History).

Πηγή: http://el.wikipedia.org/wiki/Ευκλείδης

         Δεν εξέλαβα, τα όσα είπε η καθηγήτρια, ως φιλοφρόνηση και δη ανταποδοτέα – άλλωστε, επειγόμουν:
         «Νομίζω πως ήλθε η ώρα, επί τέλους, να ...“επιστρέψω” στο ξυλουργείο (ώστε να μπορώ να σηκώνω και το τηλέφωνο).
         Εξ άλλου, πρέπει να σας πω τα σχετικά με τα υπό κατασκευήν κανονικά πολύεδρα...»
         Συνεφώνησε... αλλά, και επέμεινε, εις αυτό που είχε αρχίσει:
         «Μετά από όλη αυτή την συνεργασία μας», “έμαθα”  καλλίτερα την γεωμετρία (εν μέρει, τουλάχιστον), και ιδίως, τα κανονικά πολύεδρα (εν μέρει, τουλάχιστον)...»
         Δεν παρέλειψε να αναφέρει όλα όσα είχαν πραγματοποιηθεί εις τις προηγούμενες συνεργασίες μας.
         Εν τέλει, κατέλειξε:
         «Είμαι ενθουσιασμένη... Ελπίζω δε πως, η μάθησή μου, θα προχωρήσει... »
         «Εγώ έμαθα περισσότερα», απήντησα, (με σεμνότητα και ειλικρίνεια) αλλά, έσπευσα να συμπληρώσω (με κάποιο “ύφος”):
         «Όμως, δεν είμαι και ...ενθουσιασμένος...»
         Είχα επιχειρήσει να κριτικάρω την (συνήθη) ...αφειδωλία ορισμένων “ηχηρών” εκφράσεων, “γυναικείων” συνήθως, (όπως...: «συγκλονίστηκα...» και τα τοιαύτα»...). Εκείνη υπέθεσε άλλο, το οποίο νόμισε πως έπρεπε να ειρωνευθεί (με “χάρη”):
         «Ε, μην κοιτάς... Εσύ είσαι άντρας και οφείλεις να επιδεικνύεις “ψυχραιμία”...»
         Γέλασα αλλά, και της εξήγησα:
         «Περί των πολυέδρων, δεν νομίζω πως μάθατε κάτι που δεν γνωρίζατε ή, που δεν ήσαστε σε θέση να βρείτε... –Αντιθέτως ήσαστε σε θέση να βοηθήσετε κι΄ εμένα ώστε να βρώ αυτά που βρήκα όπως, την δίεδρο γωνία του κανονικού 4-έδρου (παρουσία σας) και τις διέδρους των άλλων (απουσία σας). Ίσως όμως, να εντυπωσιαστήκατε συνειδητοποιώντας το πόσα πρέπει να γνωρίζει κάποιος τεχνίτης ο οποίος θα τα κατασκευάσει...»
         Απήντησε ...μπερδεμένα:
         «Αυτό είναι αλήθεια, το καταλαβαίνω... ή, μάλλον, κατα-λαβαίνω ότι πολλά δεν τα καταλαβαίνω... και ελπίζω να μην είναι τέτοια, αυτά που βιάζεστε να μου πείτε...»
         Συνέχισα εις το αυτό “στυλ”:
         «Καταλαβαίνετε αυτά που δεν καταλαβαίνετε αλλά, δεν καταλαβαίνετε τα πόσα θα μπορούσατε να καταλάβετε... ώστε να βοηθήσετε κι΄ εμένα...»
         Μ΄ εκοίταξε με τόση απορία που μου προκάλεσε γέλια:
         Της είπα και της έδειξα κάτι που την επαλήθευσε και την ...διέψευσε, ταυτοχρόνως:
         «Οι δίεδρες γωνίες αφορούν τα καδρονάκια (δηλαδή τις διατομές αυτών) που θα είναι οι ακμές των πολυέδρων... Με τις κορυφές τους όμως, τί γίνεται; Και, πώς θα συνδεθούν τα καδρονάκια, μεταξύ τους;
         Κοιτάξετε αυτό το καδρονάκι (εκ δύο όψεων), εις τα άκρα του:» 
              

        

88η εικών:

Διά να μετατραπούν, δύο καδρονάκια, εις ακμές πολυέδρου

και να συντεθούν, απαιτούν, ειδική διαμόρφωση των άκρων τους.

         Σημείωση: Η εικών ανήκει εις εκείνες του που, ήδη, εξετάσαμε, λίγο πριν από το σχόλιο της παράκαμψης (εδώ). Εάν, κατόπιν των όσων ελέχθησαν έκτοτε, το σχόλιο και οι εν λόγω εικόνες αποκτούν περισσότερο νόημα επαφίεται εις την κρίση των αναγνωστών των οποίων τα σχόλια αναμένω...
         Όταν η καθηγήτρια είδε το σχήμα είπε:
         «Ε, αυτά, είναι που σας είπα ότι δεν θέλω να μου δείξετε...»
         «Μα διά τί; Είναι τόσο απλό: Είναι τετμημένο κατά τα επίπεδα τα διχοτομούντα τις γωνίες των εδρών του πολυέδρου...»
         Όταν άκουσε τους “μαθηματικούς” όρους, άλαξε λίγο στάση:
         «Και που θέλετε να σας βοηθήσω, εγώ...», είπε.
         «Χμμμ... Αυτό, πράγματι, δεν θα σας το πω, τώρα, διότι, όντως, επείγομαι να σας πω άλλα πράγματα... Επιφυλάσσομαι όμως να το πράξω σε μία προσεχή μας συνάντηση...» (Εις το κεφάλαιο υπό τον τίτλον: «35. Βέλτιον οψιμαθή καλείσθαι ή, αμαθή», του 5ου μέρους του βιβλίου, το οποίο δεν έχει δημοσιευθεί αλλ΄ υπάρχει υπό μορφήν PDF,.εδώ)
         «Φαντάζομαι τι με περιμένει», έκαμε με “χάρη”. Κατόπιν πήρε ύφος σοβαρό και είπε:
         «Με όλα αυτά όμως, που μου είπατε, καταλαβαίνω γιατί λέτε πως δεν ενθουσιαστήκατε... –Εάν, παρόμοια πράγματα αντιμετωπίζετε καθημερινώς, θα τα θεωρείτε “τετριμμένα”.»
         “Κόμπιασε” και συνέχισε:
         «–Αλλά, μην προβάλλετε με ...υπερηφάνεια την έλλειψη ενθουσιασμού...»
         Δεν θέλησα να της εξηγήσω το τι ήταν, αυτό, που δεν ήταν «υπερηφάνεια». Αρκέστηκα, λοιπόν, να σημειώσω:
         «Ο ενθουσιασμός, ενίοτε, περισπά την νόησιν και παρεμποδίζει την μάθησιν και, προπαντός, την γνώσιν.»
         Δεν αντέταξε την παραμικράν αντίρρησιν...        
       

Τέλος του Πρώτου Μέρους .        

        

        

Συνεχίζεται, εδώ...