5. Ο Λεονάρντο από το Βίντσι και κάποιος ξυλουργός από κάπου αλλού... [ΜΕΡΟΣ Ι, Κεφ. 5 (2/11/13)]

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

5. Ο Λεονάρντο από το Βίντσι και
κάποιος ξυλουργός από κάπου αλλού...

Η γεωμετρία που, ήδη, εγνώριζα όταν εγκατέλειψα το σχολείο, μου επέτρεψε να μάθω και εκείνη που χρειαζόμουν διά να ασκήσω (σχεδόν) ικανοποιητικά την τέχνη του ξυλουργού. Το πρώτο που “ανεκάλυψα” εις το ξυλουργείο ήταν (φυσικά) ότι, η γνώση της γεωμετρίας, βοηθάει την ξυλουργική τέχνη. Αργότερα, “ανεκάλυψα” και το αντίστροφο: Πως, δηλαδή, η ξυλουργική τέχνη, βοηθάει καθοριστικώς εις την κατανόηση και την περαιτέρω εκμάθηση της γεωμετρίας. Και οι πλέον απλές, γεωμετρικές, κατασκευές, εις τον ξυλουργόν παρουσιάζονται (γεωμετρικώς) πολύ «απαιτητικότερες» από ό,τι εις ένα μαθηματικό, π.χ. ένα καθηγητή σχολείου, ο οποίος εργάζεται επί του πίνακος. Αυτό, δεν πρέπει να θεωρηθεί ως υπερβολή ή/και ως έπαρση. Συνιστά απλή διαπίστωση και χρήσιμη επίγνωση· χρήσιμη, δι΄ όλους:

29η εικών:

Η κατασκευή μίας ξυλουργικής ορθής γωνίας

είναι περισσότερη “απαιτητική” από την κατασκευή

μία μαθηματικής τοιαύτης.

Διά την υλοποίηση των γεωμετρικών κατασκευών του ξυλουργείου, ουδεμία ...“ανωτέρα δύναμις” μεριμνά. Ουδείς ξυλουργός δύναται να διατυπώσει (π.χ.) την προσταγή: «έστω τρίεδρος, τρισορθογώνια γωνία» και, αυτή, να ...υπάρξει και δη, ακριβής. Εάν δεν γνωρίζει τον τρόπο (ή, τους τρόπους) κατασκευής της, η εν λόγω γωνία, δεν θα υπάρξει ποτέ:

30η εικών:

Δύο τρίεδρες, τρισορθογώνιες γωνίες,

οι οποίες διαφέρουν κατά πολύ ως προς:

τον σκοπό που εξυπηρετούν, τον τρόπο κατασκευής των

και (συνεπώς) την αισθητική των.

Όταν λέγω «ανεκάλυψα», κυριολεκτώ, δηλαδή, εννοώ ότι, κατά την άσκησιν της μαστορικής μου πρακτικής απεσύρετο βαθμηδόν ένα αδιόρατο “κάλυμμα” που υπήρχε επί των γνώσεων που, ήδη, είχα αποκτήσει και, ιδίως, επί των απόψεων που με είχε κάμει να κατανοήσω ο καλός καθηγητής μου. Αυτές, κυρίως, αφορούν τις θεμελιώδεις ή, τις αρχικές (τις και “δυσκολότερες”) έννοιες της γεωμετρίας όπως είναι το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο.

Οι έννοιες, αυτές, συμφώνως προς τις (νυν) μαθηματικές παραδοχές, είναι ...“αόριστες” (άνευ ορισμού). Περί της “αοριστίας” αυτής, υπάρχει και θεωρητική φιλοσοφική τεκμηρίωση, την οποία έχω πληροφορηθεί αλλά, εάν την μετέφερα εδώ, θα παρεξέκλινα κατά πολύ. – Άλλωστε, εις τι χρειάζεται μία άποψη η οποία έχει ως αποτέλεσμα το να μη δυνάμεθα να πούμε ...το τι είναι το σημείο.

Ο Ευκλείδης λέγει:

«Σημείον εστίν, ου μέρος ουθέν», αυτό του οποίου δεν υπάρχει μέρος, ήτοι, δεν μερίζεται (όχι: «που ...δεν έχει μέρος», όπως είδα κάπου, διότι «μέρος», λέμε και το αποχωρητήριο). Εις τον Ευκλείδη, χρειάζεται το αμέριστο σημείο, διότι, όταν θα πει «από παντός σημείου επί παν σημείν ευθείαν γραμμήν αγαγείν» (1ον αίτημά του) να μη τον ερωτήσουν: «από ποιό μέρος του σημείου» (άνω, κάτω, δεξύ, αριστερό κτλ). Η έκφραση «από αόριστο (άνευ ορισμού) σημείο επί αόριστο σημείο» είναι, προφανώς, αόριστη “στη διπλή”.

Διά τους ξυλουργούς, οι εν λόγω έννοιες, είναι απολύτως κατανοητές, κάτι που έγινε, ήδη, φανερό εις τα δύο πρώτα κεφάλαια του προηγουμένου μέρους του βιβλίου. Τώρα όμως, το εξετάζουμε από μία άλλη σκοπιά, ερμηνευτική, της ξυλουργικής κατανόησης:

Η κατανόηση αυτή, δεν οφείλεται εις την ...επιφοίτηση κάποιου πνεύματος που έχουν δεχθεί, οι ξυλουργοί, ως φαίνεται να πιστεύουν όσοι, από τη μιά μας υποτιμούν (εμάς και τις γνώσεις μας) και από την άλλη, μας λέγουν (“κι΄ από πάνω”): «εσύ είσαι ο μάστορας... ξέρεις». 

–Προκύπτει από την εμπειρία μας. 

Δεν ξέρω εάν είναι δικαιολογημένος, ένας μαθηματικός, όταν (π.χ.) δηλώνει πως ο ευκλείδειος ορισμός του επιπέδου είναι «σκοτεινός». Αλλά, ένας ξυλουργός, θα ήτο εντελώς αδικαιολόγητος εάν δεν τον κατεννοούσε:

«Επίπεδος επιφάνειά εστιν, ήτις εξ ίσου ταις εφ΄ εαυτής ευθείαις κείται.»

Ο ξυλουργός, όταν θέλει να ελέγξει την επιπεδότητα μίας επιφανείας, λαμβάνει ένα πλανισμένο (ήτοι: ευθύ) καδρόνι και το “ταιριάζει” επ΄ αυτής, καθ΄ όλους τους δυνατούς τρόπους.

Εάν, η επιφάνεια, σε κάποια περιοχή της, “κοιλιάζει”, δηλαδή, αν υπάρχει ένα κενό, το πράγμα διαπιστώνεται διότι, εκεί, μεταξύ αυτής και του καδρονίου “φεγγίζει”. Εάν σε άλλη περιοχή της επιφανείας, υπάρχει μία “καμπούρα”, δηλαδή, ένα εξόγκωμα, τότε, το καδρόνι “τραμπαλίζει”. Σε αυτές τις περιπτώσεις, το καδρόνι δεν «κείται εξ ίσου επί της επιφανείας», άρα, ούτε και η επιφάνεια «κείται εξ ίσου ως προς αυτό»: Κείται “εξ ανίσου”.

Εάν σε μία επιφάνεια δεν υπάρχουν περιοχές της όπου ένα καδρόνι να κείται “εξ ανίσου”, εάν, δηλαδή, “ταιριάζει” παντού, τότε είναι επίπεδος... Πού είναι η «σκοτεινιά»;

Ενδιαφέρον παρουσιάζει ο τρόπος δια του οποίου, ο ξυλουργός, σχεδιάζει μία ευθεία γραμμή, μεταξύ δύο σημείων Α και Β (π.χ., επί ενός ξυλίνου επιπέδου):

Θέτει δύο βελονάκια (ψιλά καρφάκια) επί των σημείων Α και Β. Αυτά δεν τα καρφώνει στερεά, ώστε να μη κάνει μεγάλα σημάδια, εις την υπό κατεργασίαν επιφάνεια (που θα πρέπει να “μερεμετίσει”, κατόπιν) αλλά, τα «τσιμπάει» όπως λέμε: Ίσα που να μη πέφτουν.

Έπειτα, ακουμπάει “μαλακά” τον κανόνα (ένα πλανισμένο πηχάκι) επί του ενός των βελονίων και, κατόπιν, με κέντρο αυτό, τον στρέφει μέχρι που να ακουμπήσει, “μαλακά”, και επί του άλλου. (Παρομοίως ενεργεί και ένας έμπειρος σχεδιαστής χρησιμοποιώντας, ως κέντρο, την αιχμή του μολυβιού του.)

Προφανώς, ο ξυλουργός, εφαρμόζει το ευκλείδειο αίτημα – «Από παντός σημείου επί παν σημείο ευθείαν γραμμήν αγαγείν».

Εάν εφήρμοζε το νυν “ισχύον” αξίωμα – «δύο σημεία ορίζουν μία ευθεία» (ή, κάτι τέτοιο...) τότε, θα “έριχνε”, και τα δύο βελονάκια. Διότι δεν μπορεί να παρακολουθεί ταυτοχρόνως την “μαλακή” προσέγγιση του κανόνος επί δύο σημείων, καθόσον, ο οφθαλμός του ανθρώπου εστιάζει εφ΄ ενός σημείου και ...εφ΄ ενός βελονίου – κάτι που δεν μπορεί να αναιρεθεί δι΄ ενός αξιώματος. Εξ ου και η αιτία της αποτυχίας εκείνου που προσπαθεί (π.χ., επί του πίνακος) να θέσει (“μπλάπ”) τον κανόνα, ταυτοχρόνως, επί δύο σημείων, πράγμα που έχουμε δει, όλοι, ως μαθητές...

31η εικών:

Από του Α επί το Β «ευθείαν γραμμήν αγαγείν»:

Βήμα 1ον: Μαλακή επαφή του κανόνος εις το σημείο Α.

Βήμα 2ον: Επιβραδυνομένη στροφή του, προς το Β, με κέντρο το Α.

Βήμα 3ον: Μαλακή επαφή του κανόνος επί το Β.

Ενίοτε, οι ξυλουργικές γεωμετρικές κατασκευές, είναι εξαιρετικά σύνθετες, οπότε, παρέχουν την ευκαιρία διά περαιτέρω διεύρυνση των γεωμετρικών γνώσεων:

Ας υποθέσουμε, λόγου χάριν, ότι, η κορυφή της δευτέρας τριέδρου γωνίας, που είδαμε προηγουμένως, είναι η κορυφή, ενός κύβου, και ότι, ο κύβος αυτός, είναι ένα εκ των πέντε κανονικών πολυέδρων που πρέπει να κατασκευασθούν... – ας πούμε, αυτών, που μου είχε ζητήσει μία καθηγήτρια μαθηματικών και (μετέπειτα) φίλη. Και, ας μου επιτραπεί να διηγηθώ (εκτενώς) τα σχετικά διότι υπήρξαν η αφορμή της “συγγραφής”, όλης, αυτής της διηγήσεως:

Η μαθηματικός, λοιπόν, αυτή, είχε θεωρήσει αρκετό να μου δείξει ένα σχέδιο του Λεονάρντο (εκ του Βίντσι), και να μου πει, την γνωστή “αλλεργιογόνο” έκφραση:

«–Να, περίπου έτσι... –Εσύ, είσαι ο μάστορας... ξέρεις.»

«Κυρία μου, εσείς, είσθε μαθηματικός – όχι διακοσμήτρια. Άρα, υποχρεούσθε να ακριβολογείτε: Θα έπρεπε να είχατε μετατρέψει, το «περίπου», εις επακριβώς, προς αποφυγήν παρανοήσεων.»

Εξετάσαμε από κοινού το, εν λόγω, σχέδιο του Λεονάρντο, προσπαθώντας να συνεννοηθούμε ή/και να (αλληλο)βοηθηθούμε:

32α εικών:

Κανονικό 12-εδρο, σχεδιασμένο από τον Λεονάρντο,

για το βιβλίο του Luca Pacioli: «Η Θεϊκή Αναλογία» (1509)

Μετ´ ολίγον, ωμίλησε πρώτη:

«Θέλω όμως, οι ακμές του, να είναι πολύ πιο λεπτές... Αυτό που βλέπουμε μοιάζει με ...σκελετό για φωτιστικό.»

«Χμμμ», έκαμα. «Όπως ξέρετε, ο Λεονάρντο, ήταν μεγάλος μάστορας... Αυτό, εδώ, ίσως, είναι σχέδιο ξυλουργικής κατασκευής και, μάλλον, θα συντεθεί από 12, κανονικά, 5-γωνικά “τελάρα” τα οποία θα είναι οι έδρες του κανονικού 12-έδρου. Αυτή, η σύνθεση, είναι πιο εύκολη, πιο στέρεα και περισσότερο απηλλαγμένη, στρεβλώσεων από εκείνη που θα ήταν είχαμε εάν συνθέταμε 30 ευθύγραμμα καδρονάκια που θα ήταν οι ακμές του 12-έδρου.»

Έδειχνε ως να μη κατεννοούσε την σχέση αυτού που είπε με την απάντηση που έλαβε. Της εξήγησα:

«Το “τελάρο”, διά να είναι στέρεο και όχι στρεβλό, θα πρέπει, τα καδρονάκια διά των οποίων θα συντεθεί, να έχουν κάποιο πάχος...:

Και, μάλλον, εδώ, ο Λεονάρδος, έχει επιλέξει, το μικρότερο δυνατό πάχος: Ας παρατηρήσουμε ότι εκάστη ακμή, αποτελείται από δύο καδρονάκια. Αυτά, δεν μπορεί να είναι τόσο λεπτά όσο το ένα αλλά, το ένα, δεν θα μπορούσε να αποτελείται από δύο λεπτότερα.»

Αντελήφθην ότι έπρεπε να φτιάξω ένα σχήμα.Της έδειξα ένα σημείο του σχεδίου του Λεονάρντο και το σχηματοποίησα:

33η εικών:

Δύο εκδοχές της ακμής (διατομής) του κανονικού 12-έδρου:

Η πρώτη μπορεί να συντεθεί από δύο μέρη, η δευτέρα, όχι.

Όταν το είδε, ερώτησε ώστε να το κατανοήσει καλλίτερα:

«Αυτό, το «τελάρο», πώς θα είναι; –Δεν καταλαβαίνω.»

«Χμμμ,... εγώ, καταλαβαίνω αλλά ...δεν ξέρω... Θα σας δείξω όμως, πως θα ήταν, εάν είχαμε να κατασκευάσουμε ένα κύβο:»

«Το ίδιο κάνει: Έτσι κι΄ αλλιώς, θα φτιάξουμε και κύβο...»

«Τον κύβο όμως, δεν είναι ανάγκη να τον φτιάξουμε με, τόσο, “μπελαλίδικο” τρόπο... (Αυτά που θα σας δείξω, είναι για κάτι άλλο):»

34η εικών:

Ένας κύβος συντεθειμένος από 6 “τελάρα”,

όπως αυτό που είναι κάτωθεν αυτού.

35η εικών:

Τρεις τρόποι κατασκευής ενός τελάρου.

Όταν τελείωσε η επίδειξη, είπα:

«Βεβαίως, ο τρίτος τρόπος σύνδεσης, απορρίπεται.»

«Μα, γιατί;», έκαμε, «Εμένα μου αρέσει περισσότερο... δηλαδή, από τους δύο τελευταίους: Γιατί, τα κομμάτια του είναι συμμετρικά.»

«Χμμμ... Πολύ καλά, παρατηρήσατε την συμμετρία. Αυτή όμως, ακριβώς, είναι που “μας τα χαλάει” διότι απαιτεί δύο ειδών καδρονάκια (και όχι, ένα, όπως ο δεύτερος τρόπος) και, άρτιο πλήθος πλευρών των εδρών του. Εάν παρατηρήσετε καλά, θα το καταλάβετε.»

Όταν το παρετήρησε, είπε με ειλικρίνεια:

«Εκείνο που καταλαβαίνω είναι ότι... κάτω, από τα μάτια μου, υπάρχουν πράγματα που δεν καταλαβαίνω...»

«Καθένας με την τέχνη του...»

«Αλλά, πέστε μου: Γιατί είπατε πως δεν ξέρετε να κάνετε τα τελάρα του κανονικού 12-έδρου; Μήπως δεν ξέρετε να κάνετε το κανονικό 5-γωνο (δηλαδή, την έδρα του);»

«Αυτό, το γνωρίζω... (Γνωρίζω, επίσης, η έδρα του κανονικού 12-έδρου είναι κανονικό 5-γωνο.) Εκείνο που αγνοώ, είναι η δίεδρος γωνία του κανονικού 12-έδρου.»

Ήτο προετοιμασμένη:

«Έχω ένα τύπο, του ημιτόνου του μισού της γωνίας αυτής...»

«Καλός είναι κι΄ αυτός...»

«Ναι-εεε...», έκαμε κομπιάζοντας χαρακτηριστικά, «αλλά,... χμμμ... δεν ξέρω αν θα μπορέσετε να τον εφαρμόσετε στην πράξη...»

«Ε, ας τον δούμε, πρώτα... Δεεεν... δαγκώνει.»

Επήρε το προηγούμενο σχήμα και το συνεπλήρωσε... εκτός από την κάτωθεν αυτού επεξήγηση, την οποία προσέθεσα, τώρα, εγώ:

36η εικών:

Η φ, είναι η ημίσεια της επιπέδου γωνίας που αντιστοιχεί

εις την δίεδρο γωνία του κανονικού 12-έδρου.

Μόλις είδα τον τύπο, θέλησα ...«να βάλω τα πράγματα στη θέση τους» (όπως λέμε)...:

«Πρώτον, απ΄ όσο ξέρω, οι δίεδρες γωνίες, δεν έχουν ημίτονο (συνημίτονο... κτλ). Ημίτονο, έχουν οι επίπεδες: εδώ, αυτή που είναι η τομή της διέδρου δι΄ ενός επιπέδου καθέτου επί την ακμή της... Αυτήν, αν συμφωνείτε, ας την λέμε: «αντίστοιχο της διέδρου».»

Έκαμα ένα πρόχειρο σχήμα, επεξηγημένο:

37η εικών:

Η γωνία ΑΒΓ, τομή της διέδρου φ

δι΄ ενός επιπέδου καθέτου προς την ακμή της,

είναι η αντίστοιχος επίπεδος της φ.

Εν όσω εσχεδίαζα δεν παρατηρούσα την συνομιλήτριά μου...

Όταν την εκοίταξα, το χρώμα του προσώπου της είχε, ήδη, απωλέσει την πολλή ερυθρότητα:

«Κοιτάξτε», είπε, «το ξέρω ότι έτσι είναι το σωστό αλλά, δεν το είπα για να μη σας μπερδέψω...»

«Α», έκαμα, με ύφος περισσότερο ενοχλημένου απ΄ όσο ήμουν, «αυτό, μας πάει, κατ΄ ευθείαν εις το δεύτερο, που ήθελα να σας πω:

Διά τί, παρακαλώ, δεν ξέρετε αν θα μπορέσω να εφαρμόσω τον τύπο;... –Εκτός και αν εννοείτε ότι δεν δικαιούμαι, να το πράξω, πράγμα που οφείλω να παραδεχθώ.»

Ξαφνιάστηκε:

«Όχι, καλέ, τί λέτε; Γιατί να μη δικαιούσθε; Οι τύποι των μαθηματικών είναι για όλους...»

Την διόρθωσα:

«Είναι «για όλους», όσοι ξέρουν να τους αποδεικνύουν.»

Φάνηκε σαν να εγκρίνει το λεχθέν αλλά και να το βρίσκει “κάπως αυστηρό”, οπότε, θέλησα να το υπογραμμίσω:

«Οι λοιποί, αν τους εφαρμόζουν, είναι “τσαμπατζήδες”...»

«Πάντως, εγώ, δεν το σκέφτηκα, έτσι, για σας...»

«Τότε, διά τί δεν ξέρετε αν θα μπορέσω να τον εφαρμόσω;:

–Δηλαδή, δεν ξέρετε, εάν μπορώ να φτιάξω ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου γνωρίζω δύο πλευρές: την α (απέναντι από την ορθή γωνία) και την β;»

Έκαμα ταχέως και, δήθεν, ...οργισμένος, το σχήμα που ακολουθεί:

38η εικών:

(Άνευ επεξηγήσεων...)

Όταν το είδε, άρχισε να μου “εξηγεί” τα εξής:

«Ξέρετε..., επειδή, ο τύπος, δεν έχει «α» και «β» αλλά, κάποιες ρίζες... και, μάλιστα, διπλό υπόρριζο... Αλλά...»

Εν όσω συνελογίζετο, την διάκοψα:

«Και που είναι η δυσκολία; Μήπως δεν μπορούμε να βρούμε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού... δηλαδή, ενός τμήματος ευθείας, (εάν, βεβαίως, έχουμε ορίσει το μοναδιαίο τμήμα;»

Εκείνη συνέχισε αυτό που έλεγε:

«...Αλλά, συγγνώμη, μου διέφυγε ότι, σήμερα, οι υπολογισμοί των ριζών γίνονται πανεύκολα... ακόμη και με την αριθμομηχανή ενός φορητού τηλεφώνου...»

Ωμίλησα με (προσποιητή) έπαρση και (προσποιητό) θυμό:

«Η γεωμετρία, δεν έχει ανάγκη από τέτοιους ...“μπακάλικους λογαριασμούς”. Έχει τα δικά της εργαλεία: Τον κανόνα και τον διαβήτη που, παρεμπιπτόντως, δεν είναι αποκλειστική ιδιοκτησία των μαθηματικών.»

Δεν ήθελα να σας προσβάλω», είπε και το εννοούσε.

«Το πιστεύω, αγαπητή. Ξέρετε όμως, θίγομαι όταν με νομίζουν αμαθέστερο αυτού που είμαι. Εξ ου και επιδεικνύω, “κάπως”, αγενή και προσβλητική συμπεριφορά... Ειλικρινώς, λυπούμαι.»

«Δεν θα σας έλεγα «αγενή» ή, «προσβλητική»... αλλά, μάλλον, «χλευαστική», κάτι, που είναι χαρακτηριστικό πολλών μαστόρων...»

Έδωσε μία ερμηνεία (που είναι “εκτός θέματος”) και συνέχισε:

«Αλλ΄, ας αφήσουμε προς το παρόν την κατασκευή των ριζών και της δίεδρης γωνίας και ας δούμε πως θα είναι τα πολύεδρα:

...

Εν τέλει, καταλήξαμε εις το ότι, τα πολύεδρα, δεν θα γίνουν με σύνθεση “τελάρων” αλλά με λεπτές ακμές (καδρονάκια).

Εδώ, διευκρίνισα κάτι ακόμη:

«Εάν όμως, θέλετε και να μη διαλύονται τα πολύεδρα, όταν πέφτουν από την έδρα – ιδίως το 12-εδρο – χρειάζομαστε και τις διαγωνίους τους... τουλάχιστον, αυτές, που διέρχονται διά του κέντρου της περιγεγραμμένης σφαίρας...»

Μόλις το άκουσε, χάρηκε:

«Α, θα είναι και πολύ ωραία, αν εμφανίζονται και οι διαγώνιες.

–Τί λέτε κι´ εσείς;»

«Εγώ, ήδη, είπα πως αυτό χρειάζεται διά λόγους σταθερότητος. Και, εν συνεχεία, λέγω πως, εάν τα πολύεδρα είναι ασταθή, θα είναι και ά/σχημα ...δηλαδή, άνευ (συγκεκριμένου) σχήματος.»

«Μάλιστα», έκαμε συγκαταβατικά...

Αντελήφθην ότι δεν αντελήφθη:

«Ξέρετε», είπα, «εκ των πέντε κανονικών πολυέδρων, τα τρία – το 4-εδρο, το 8-εδρο και το 20-εδρο – έχουν έδρες, τριγωνικές...»

«Ισόπλευρα τρίγωνα», με “διόρθωσε”...

«Τριγωνικές», επέμεινα, «δηλαδή, ακλόνητες. Ο κύβος και το κανονικό 12-εδρο, έχουν έδρες τετράπλευρες (4-γωνα) και πεντάπλευρες (κανονικά 5-γωνα), αντιστοίχως. Αυτές οι έδρες μπορεί να στρεβλώσουν, διότι η σύνδεση εις τις κορυφές μπορεί να ...μεταβληθεί εις ...άρθρωση – ιδίως όταν οι ακμές είναι πολύ λεπτές.

Διά των διαγωνίων (αυτών που, εμείς, λέμε: «χιαστί»), εκάστη ακμή του κύβου ή, του κανονικού 12-γώνου γίνεται πλευρά (ισοσκελούς) τριγώνου – το οποίον παραμένει ακλόνητο.

Λόγου χάριν, δείτε τον προηγούμενο κύβο σε δύο εκδοχές:

Πρώτα χωρίς διαγωνίους και κατόπιν με διαγωνίους (π.χ.) από σύρμα: Ο πρώτος, σας δίδει την εντύπωση ότι εάν βάλουμε επάνω του ένα φορτίο, θα “λοξέψει” μέχρι που να “κατεδαφισθεί”. Ο δεύτερος, φαίνεται πολύ σταθερότερος:»

39η εικών:

Ο δεύτερος κύβος, αυτός με τις διαγωνίους,

φαίνεται (και είναι) πολύ σταθερότερος του πρώτου.

Όταν τελείωσε και αυτό, θεώρησα σκόπιμο να αναφέρω ένα “λεπτό” ζήτημα – που δεν το αποκαλώ «λεπτό», όταν αναφέρομαι εις τους ποικίλους διακοσμητές, πελάτες μου (βλέπε τέλος προηγουμένου κεφαλαίου). Αλλά, η τωρινή περίπτωση, πρέπει να θεωρηθεί ως «ειδική»: Πρόκειται – βλέπετε – περί εποπτικών οργάνων της γεωμετρίας...: “Τόσοι και τόσοι”, γεωμέτρες, έχουν δουλέψει για να έχουμε, εμείς, εις την διάθεσή μας όλα αυτά τα θεωρήματα που έχουν αλλάξει την ζωή και την νόησή μας. Και, “τόσοι και τόσοι”, σήμερα, πρέπει να (προλάβουν να) τα μάθουν... (–Ε, αν συνεχίσω, θα νομισθώ, ίσως, ως ένας εξ αυτών που επιδεικνύουν ...υπερβολική “φιλοτιμία”).

«Ξέρετε, αγαπητή μου, όλες αυτές τις μελέτες, έπρεπε να τις είχατε κάμει εσείς, ειδεμή να μου τις αναθέτατε επ΄ αμοιβή... Αλλά, το παραβλέπω, διότι με ενδιαφέρει το θέμα.»

«Καλοσύνη σας», αρκέστηκε να πει...

...

Αυτή, ήταν η έναρξη μίας ενδιαφέρουσας και γόνιμης συνεργασίας, ιδιαιτέρως εκεί όπου, οι τεχνικές ανάγκες απαιτούσαν μία γεωμετρική εύρεση (ή/και αντιστρόφως):

Συνέβη κάποιου είδους “κοινοπραξία γνώσεων” προς επίλυσιν ορισμένων προβλημάτων τα οποία, όπως απεδείχθη, ήταν μάλλον δυσκολότερα απ´ ό,τι εφαίνοντο εκ πρώτης όψεως και, μάλιστα, παραγωγικότερα γνώσεων.

Αυτά, διά να καταστούν επαρκώς κατανοητά, δεν αρκούν οι (πέντε) εικόνες που θα παρατεθούν εν συνεχεία, οι σχετικές με το εξεταζόμενο 12-εδρο, ούτε και οι επεξηγήσεις που τις ακολουθούν.

Παρέχουν όμως μία “πρώτη ιδέα” εις την οποία μπορεί να αρκεσθεί όποιος δεν θέλει (προς το παρόν, τουλάχιστον) να εμβαθύνει. Αυτός, μόλις τις δει ή/και μόλις αναγνώσει το σχόλιο εις το τέλος του κεφαλαίου, μπορεί να μεταβεί εις το επόμενο μέρος του βιβλίου υπό τον τίτλο: «Περί πυραμίδος σκιάς.»

Ας δούμε, λοιπόν, τις εικόνες αυτές, ώστε να αντιληφθούμε το πόσον οι ξυλουργικές (πρακτικές) κατασκευές μας υποχρεώνουν να εξασκηθούμε (θεωρητικώς) εις την γεωμετρία...:

...

Είναι προφανές πως, το 12-εδρο που βλέπουμε εις το σχήμα και που είναι τελικό αποτέλεσμα της εν λόγω συνεργασίας, είναι αδύνατον να κατασκευασθεί άνευ γνώσεως της κατασκευής και της καταλλήλου τομής των πρισμάτων που συνιστούν τις ακμές του, και που απεικονίζονται εις τις πέντε επόμενες εικόνες:

40η εικών:

Ένα κανονικό 12-γωνο υλοποιημένο διά των ακμών του.

Οι εμφανιζόμενες διαγώνιοι αποτελούνται από δύο ημίση,

κοχλιοτομημένα (“βιδοποιημένα”) κατά τα άκρα τους

Διά των κοχλιώσεων συνδέονται στερεά

αφ΄ενός με το κέντρο του 12-έδρου

και, αφ΄ ετέρου, με τις κορυφές του.

41η εικών:

Οι ακμές του 12-έδρου παρίστανται

διά πρισμάτων καταλλήλων διατομών

και τετμημένων, επίσης, καταλλήλως.

42α εικών:

Οι, κατά τα άκρα, κοχλιοτομημένοι διαγώνιοι του 12-έδρου

και οι κορυφές-περικόχλια συνιστούν δομικά στοιχεία αυτού.

43η εικών:

Λεπτομέρεια της φάσεως της σύνδεσης.

44η εικών:

Η στερεά σύνδεση απαιτεί επιπρόσθετες, τεχνικές γνώσεις, όπως, π.χ:

Το (κόκκινο) περικόχλιο είναι διαμορφωμένο εις τρόπον ώστε,

κατά την κοχλίωση, να “δαγκώνει” και να συγκρατεί

τα ξύλινα πρισματικά στελέχη που παριστούν τις ακμές.

Εκτενές σχόλιον:

Οι επεξηγημένες εικόνες που είδαμε, θα μπορούσαν να έχουν, ως επιγραμματική κατακλείδα, την εξής:

«Κάποια πράγματα, σαν αυτά που είδαμε, απαιτούν κάποια πράγματα, σαν κι΄ αυτά που θα πούμε...»

Το «κάποια πράγματα» προδηλοί την ανεπάρκεια της ακροθιγούς προσεγγίσεως που επεχειρήθη, εδώ, και υποδηλοί το εξής:

Πολλοί αναγνώστες, εξ εκείνων που ενδιαφέρονται διά το θέμα του υπολογισμού του ύψους της Πυραμίδος του Χέοπος, ίσως έχουν την εντύπωση ότι, αυτά που μόλις είδαν, είναι όχι μόνο “στρυφνά” αλλά και περιττά (“εκτός θέματος”). Αυτοί, εάν αναγνώσουν και τα υπόλοιπα κεφάλαια αυτού του μέρους του βιβλίου, η εντύπωσή τους θα επιταθεί. Και, πράγματι, εάν κάποιοι, τα παραλείψουν και μεταβούν εις το επόμενο μέρος, υπό τον τίτλο «Περί πυραμίδος σκιάς.», όχι μόνον θα απαλλαγούν από περιττή και επίπονη απώλεια χρόνου θα μπορέσουν να συνεχίσουν απροσκόπτως (παρομοία πρακτική θα υπάρξει και σε άλλα σημεία του βιβλίου). Προς διευκόλυνσή των, επελέγη αυτή, η μάλλον πρωθύστερη παρουσίαση των εν λόγω εικόνων. Ως αν ήταν ...σκηνές (επεξηγημένες) ενός έργου που δεν πρόκειται να δουν αλλά, “πρέπει” να γνωρίζουν το θέμα του...

Το πρόβλημα, δυστυχώς, υπάρχει με εκείνους που ...θέλουν να δουν το έργο και ...αντ΄ αυτού θα δουν μόνον κάποια (ίσως, εκτενή) αποσπάσματά του.

Ας εξηγηθούμε:

Οι εικόνες που είδαμε παρέχουν μία μικρή και, μάλλον, ανεπαρκή ιδέα της γεωμετρικής/μαθησιακής λειτουργίας του ξυλουργείου (των εργαστηρίων, εν γένει) και της αμφιδρόμου σχέσεως δύο λειτουργιών: Της “ενδοεργαστηριακής” και της “εξω-εργασιακής”, ήτοι, της σχολικής/μαθητικής, της βιβλιογραφικής κτλ.

Η αμφιδρομία αυτή είναι μία εξαιρετικά περίπλοκη διαδικασία αλλ΄, είναι η πλέον φυσική και ανωτέρου επιπέδου σύνδεση/σύνθεση της θεωρίας με την πράξη μία σύνδεση/σύνθεση δύο πραγμάτων τα οποία, ούτως ή, άλλως, δεν διαχωρίζονται, διότι:

Αντιθέτως προς το (συνήθως) νομιζόμενο, δεν υπάρχει ούτε θεωρία της απραξίας ούτε πράξη αθεώρητη.

Η, αμφίδρομη διαδικασία που αναφέραμε, μόνον ακροθιγώς θα παρουσιαστεί εις τα επόμενα κεφάλαια αυτού του μέρους του βιβλίου, καθόσον, μία πλήρης ανάλυση, θα απαιτούσε ...ένα άλλο βιβλίο, διά να μην πούμε ότι, κάτι τέτοιο, απαιτείται μόνον διά την μαθηματική προσέγγιση των συνδέσεων (ολίγα περί αυτών, εις το κεφάλαιο υπό τον τίτλο: «Βέλτιον οψιμαθή καλείσθαι ή, αμαθή», του 5ου μέρους). Π.χ., η πλήρης επεξήγηση της τελευταίας συνδέσεως, θα απαιτούσε ένα κεφάλαιο...

Εν τούτοις, η έστω και ακροθιγής παρουσίαση αυτών των προβληματισμών, κρίθηκε σκόπιμη διότι μία παντελής παράλειψή τους θα ισοδυναμούσε με απόκρυψη της γενεσιουργού αιτίας η οποία κατέστησε ικανό, ένα ξυλουργό (μετα του βοηθού του), να επιλύσει ένα πρόβλημα το οποίο, ορισμένοι αποκαλούν: «γρίφο». Και τότε, η μόνη πιθανή εξήγηση θα ήταν ...η μεγάλη του ευφυΐα – μία εξήγηση, “βολική” (διά πολλούς) αλλά, σφαλερή: Η σφαλερότητά της γίνεται εμφανής, μόλις εξ αυτής συνεπάγουμε ότι, όσοι πιστεύουν πως δεν υπήρχε λύση, είναι ...αφυείς. Αλλά, μπορεί να είναι κριτήριο ευφυΐας ή, αφυΐας το αν ξέρεις ή, δεν ξέρεις (π.χ.) να “παίρνεις περασιές” ή, “...αλφαδιές”;... Είναι όμως (πρέπει να το πούμε) κριτήριο επιστημοσύνης το να μη γνωρίζεις την λύση ενός προβλήματος υπολογισμού μεγέθους και να μην ανερωτάσαι:

«Μα, καλά: –Αυτοί, οι μάστορες, πώς κάνουν τις αποτυπώσεις των ποικίλων χώρων, ώστε, κατόπιν, εντός (ή, επί) αυτών, να “ταιριάξουν” κατασκευές που έχουν γίνει κάπου αλλού (εντός του ξυλουργείου).»

Αυτοί οι χώροι, σπανίως ομοιάζουν προς... ορθογώνια παραλληλεπίπεδα...

Τέλος του εκτενούς σχολίου.

Ανακοίνωση διά τις αναρτήσεις του blog:

Κατόπιν του προηγουμένου σχολίου και μέχρι περατώσεως του παρόντος μέρους του βιβλίου, τα κεφάλαια θα αναρτώνται κατά ζεύγη ήτοι: Έν εξ αυτού του μέρους και εν εκ του δευτέρου.

11/11/13

        

Συνεχίζεται, εδώ...