31. Η λύσις άνευ στοχεύσεως, ...εν τω μέσω της νυκτός. [Μέρος ΙV, Κεφ. 31 (27/12/13)]

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

31. Η λύσις άνευ στοχεύσεως,
...εν τω μέσω της νυκτός.

        Εν όσω σχεδίαζα την προηγουμένη εικόνα, πέρασε ο μικρός βοηθός μου και, ως ήτο φυσικό, ζήτησε να πληροφορηθεί, σχετικώς.
        Ενώ του εξηγούσα, με διέκοψε:
        «Μάστορα, αφού είναι γνωστή η γωνία ΤΕΚ, είναι γνωστή και η παραπληρωματική της, η ΚΕΕ΄  (= 2 ορθές – γωνία ΤΕΚ)»
        Δεν περίμενε απάντηση. Πήρε ένα χαρτί και σχεδίαζε το σχήμα της επομένης εικόνος ενώ,ταυτοχρόνως, επεξηγούσε:
        «Αυτό το ισοσκελές τρίγωνο που παριστάνει την πυραμίδα... μπορούμε να το φτιάξουμε γιατί ξέρουμε την βάση του (που είναι η πλευρά της βάσης της πυραμίδας) και τις παρά την βάση γωνίες, ω.
        Άρα μπορούμε να βρούμε το ύψος του... και... Και: Τέρμα!»

184η εικών:
Το ύψος του τριγώνου ΕΕ΄Κ
είναι και ύψος της πυραμίδος

        Εφρόντισα διά την ακρίβεια της σχεδιάσεως, την ακριβολογία του “μικρού” και ...την απόκρυψη της αμηχανίας μου:
        «Εάν, αυτό που έχεις σχεδιάσει είναι μία όψη της πυραμίδος, είναι “της κακιάς ώρας”: Το ύψος της είναι πολύ μικρό...»
        Κατόπιν, υπενθυμίζοντας μία άλλη αβλεψία του (βλέπε κεφάλαιο υπό τον τίτλο: «18. Η λύσις διά της “άρσεως” της πυραμίδος.»), κατέληξα:
        «Αλλά, έτσι κάνεις, εσύ: Ή, που θα την φτιάχνεις “ψηλόλιγνη”  ή, θα την κάνεις “κοντόχοντρη” – όπως αυτή εδώ...»
        Ο “μικρός”, χωρίς να μου δώσει μεγάλη σημασία, συνεπλήρωσε και διόρθωσε το σχήμα, αλλάζοντας και την επεξήγηση την οποία, μάλιστα, (προς ...τιμήν μου) διατύπωσε εις ύφος “καθαρευουσιάνικο”:

185η εικών:
Το τρίγωνο Μ_δΜ_βΚ είναι η τομή της πυραμίδος δι΄ ενός επιπέδου
οριζομένου υπό της κορυφής της, Κ, και των μέσων Μ_δ και  Μ_β,
 δύο απέναντι πλευρών της βάσεώς της, των ΒΓ και ΔΑ.
Το (Ε) είναι το μεσοκάθετο επίπεδο των πλευρών αυτών.

        «Αυτό το σχήμα», επέμεινα, «είναι χειρότερο,... σε σχέση με το προηγούμενο: Πώς είναι δυνατόν η τομή της πυραμίδος να παραμένει αμετάβλητη ανεξαρτήτως της γωνίας που την κοιτούμε;»
        «Μάστορα, προσπάθησα να το “φέρω”, έτσι που το ύψος της πυραμίδας να γίνει, “κάπως”, σωστό... και, μάλλον, το έκανα “καλούτσικο”... σχεδόν, σωστό. –Άσε με όμως να σου πω κάτι άλλο:
        Αυτή η λύση δεν χρειάζεται ούτε σκιές ούτε στοχεύσεις... και
γίνεται και ... μεσ´ νύχτα, με ένα φακό... δηλαδή, με ένα δαυλό.»
        Θέλησα, κάτι, να πω αλλά, δεν πρόλαβα...:
        «Ααα, άκουσε μάστορα πώς έχουν τα πράγματα:»
        Ξερόβηξε, πήρε ύφος δημοσιογράφου που ...γνωρίζει τα πράγματα “από τα μέσα” και άρχισε να ομιλεί “εμπιστευτικά” και εις ιστορικόν ενεστώτα:
        «Ο Θαλής, λοιπόν, πάει την νύχτα στην πυραμίδα και παίρνει “τα μέτρα” της, δηλαδή: Το μήκος, α, της πλευράς της βάσης της και τη γωνία ω, που λέγαμε.
        Πρωΐ-πρωΐ, κάνει τα σχέδια και τους υπολογισμούς του και, μετά, πάει στο καφενείο. Εκεί, αρχίζει να “διαρέει” ότι σήμερα θα κάνει ...το θαύμα.
        Κατά το μεσημεράκι, όταν ξεκινάει για τις πυραμίδες τον ακολουθεί πολλή “μαρίδα”. Αυτός, πλησιάζει, στέκεται με την πλάτη προς την πυραμίδα (για να τους κάνει τον ...μάγο) και, τους ανακοινώνει το αποτέλεσμα...
        Οι άλλοι, που δεν καταλαβαίνουν γρυ, σκέφτονται:
        «Ε, θα κοίταγε την σκιά του»...
        –Σιγά, μη κοίταζε ...τον αφαλό του – μην πω και τίποτ´ άλλο...»
        «Μίλα καλλίτερα...»
        «Θέλω να πω ότι, αν έσκυβε και λίγο, καθώς κοιτούσε χαμηλά, για να δει την σκιά του, τότε, την πυραμίδα,... θα την είχε “βγάλει” δέκα μέτρα πιο κοντή...»
        Κατάλαβα και γέλασα...
        Ο μικρός, συνέχισε:
        «Αλλά, και σαν την “λαμπάδα” να στεκότανε, πάλι, θα την έβγαζε πιο κοντή,... εκτός και αν φορούσε κανένα καπέλο μυτερό... δηλαδή κωνικό, ...λες και ήταν μασκαράς...:
        –Άσε που το καπέλο θα έπρεπε να στέκεται εντελώς όρθιο... δηλαδή, να το είχε βάλει με το ζύγι»
        Τον διέκοψα:
        «Άσε τα μασκαραλίκια και πες μου αν, αυτά που λες περί της κεφαλής του, μπορείς να μου τα κάμεις λιγάκι πιο επιστημονικά;»
        Εσκέφθη και εσοβαρεύθη:
        «Μάστορα, μία ηλιακή ακτίνα που θα έπεφτε υπό γωνία μισής ορθής και θα έφτανε στην περιφέρεια του κύκλου (αυτή που, λένε πως, είχε φτιάξει ο Θαλής, με ακτίνα ίση προς το ύψος του)... ε, αυτή η ηλιακή ακτίνα θα έπρεπε να μπαίνει από την κορυφή του κεφαλιού του Θαλή, και να το τρυπάει...
        Σχεδίασε το σχήμα που ακολουθεί και έδωσε τις (επίσης “καθαρευουσιάνικες”) επεξηγήσεις που το συνοδεύουν:

186η εικών:
Όταν η σκιά, ΑΒ, του Θαλού,
εξισωθεί προς το ύψος του, το ΑΓ,
οι ακτίνες του ηλίου, προσπίπτουν επί του εδάφους
υπό γωνία μεγαλυτέρα της (νομιζομένης ως) μισής ορθής,
διότι είναι παράλληλες προς την, διά του Β,
εφαπτομένην της (“σφαιρικής”) κεφαλής του, της Κ.
Άρα, κατά την στιγμήν ταύτην, το ύψος της πυραμίδος,
είναι μεγαλύτερο αυτού το οποίον τεκμερόμεθα
εξισούντες το προς την σκιά του.

        Όταν τελείωσε, συνεπλήρωσε:
        «Αυτή η λύση, που είπα προηγουμένως και που δεν χρειάζεται στοχεύσεις, έχει και την μεγαλύτερη ακρίβεια.»
        Αντελήφθην τον λόγο αλλ´, ήθελα να το επιβεβαιώσω:
        «Πώς, αυτό;»
        Δίστασε διότι, μάλλον, δεν φανταζόταν πως τον ερωτούσα κάτι τόσο απλό:
        «Ε, μα, η κορυφή της πυραμίδας – δεν μπορεί – θα ήταν και λιγάκι ...“ποντικοφαγωμένη” – στρογγυλεμένη...»
        Διέκοψε, έλαβε ύφος “εξύπνου” και είπε:
        «Τώρα που το σκέφτομαι, αν η στρογγυλάδα της κορυφής της πυραμίδας ήταν ανάλογη με την στρογγυλάδα του κεφαλιού του Θαλή, τότε, αυτοί που λένε ότι μέτρησε το ύψος της με την σκιά του, μπορεί να έχουν δίκιο...»
        Γελάσαμε με το ευτράπελο. Ο “μικρός” συνέχισε:
        «Με την μέθοδο αυτήν, εδώ, δεν μας ενδιαφέρει αν, η κορυφή, είναι “ποντικοφαγωμένη”... ακόμη και αν της λείπει ένα κομμάτι:»
        Έφτιαξε ένα νέο σχήμα, προσέχοντας να το κάμει ακριβές:

187η εικών:
Εάν είναι γνωστή η Μ_δΜ_β, και η ω, ευρίσκεται το ύψος,
ακόμη και μίας κατεστραμένης πυραμίδος.

        Μόλις το είδε τελειωμένο, απεφάνθη:
        «Αυτή τη μέθοδο χρησιμοποίησε ο Θαλής. Γιαυτό και βρήκε τόσο μεγάλη ακρίβεια – όπως λένε...»
        Εσκέφθη επ΄ ολίγον και προσέθεσε:
        «Άλλωστε, το να μετρήσει το ύψος της πυραμίδας από ένα σημείο κοντά στη βάση της, είναι το καλλίτερο για την ακρίβεια:
        Γιατί, το έδαφος, όλο και κάποια κλίση θα έχει...»
        Εδώ, ως μάστορας, θέλησα να ελέγξω τον βοηθό μου:
        «Πες μου, επακριβώς, τι έκαμε ο Θαλής...:»
        «Μάστορα» (προσεποιήθη δισταγμόν), «εγώ δεν μιλάω με ...το πνεύμα του Θαλή, για να μου λέει το τι έκανε...» (αυτό μου εφάνη ως “μπηχτή”, προς εμέ). «Θα σου πω τι θα έκανα εγώ:
        –Θα εφάρμοζα την μέθοδο του παραβάν...»
        «Για εξήγησέ μου καλλίτερα:»
        «Κοίταξε μάστορα: Θέλω να μετρήσω την γωνία που σχηματίζει η έδρα ΑΒΚ της πυραμίδας με το έδαφος, ας πούμε: την φ, για να βρω την ω, δηλαδή, την παραπληρωματική της...»
        «Όχι, ...«την γωνία που σχηματίζει με το έδαφος»...», τον διόρθωσα, «αλλά αυτήν που σχηματίζει με ένα οριζόντιο επίπεδο».
        «Μάλιστα, αυτό εννοώ:
        Λοιπόν, παίρνω δύο μεγάλα, χοντρά φύλλα κόντρα πλακέ (που να μην είναι πέτσικα). Τα στερεώνω στις άκρες τους, με μεντεσέδες....:
        Έτσι, τα κάνω να ανοιγοκλείνουν όπως τα φύλλα του παραβάν.»
        «Δηλαδή, έχεις φτιάξει μία, μεταβλητή (“πτυσσομένη”), δίεδρο γωνία, φ, της οποίας, η ακμή, ορίζεται από τους μεντεσέδες...»
        «Μάλιστα...:

• Το ένα κόντρα πλακέ το ξαπλώνω στο έδαφος. Κολλάω την ακμή της δίεδρης γωνίας, φ, στην έδρα της πυραμίδας, και το αλφαδιάζω.
• Το άλλο κόντρα πλακέ, το ξαπλώνω στην έδρα, ΑΒΚ, της πυραμίδας.
• Αυτά τα δύο κόντρα πλακέ, σχηματίζουν την γωνία φ, που ζητάω.»

        Σχεδίασε ένα σκαρίφημα το οποίο, εδώ, απεικονίζεται κάπως καλλίτερα:

188η εικών:
Ένα δίπτυχο κατασκευασμένο
με δύο φύλλα κόντρα-πλακέ.

        Όταν το είδα, τον ...επέπληξα:
        «Τα κόντρα-πλακέ και τους μεντεσέδες, τους έχουμε για ξόδεμα; Και... τον κόπο για να τα φτιάξεις, επίσης;»
        Εσκέφθη και είπε:
        «Λοιπόν, άκουσε:

• Παίρνω, ένα κόντρα-πλακέ.
• Παίρνω και ένα καδρόνι. Το καδρόνι το “ξαπλώνω” επάνω στην έδρα της πυραμίδας και το αλφαδιάζω.
• Πάνω στο καδρόνι ακουμπάω το κόντρα-πλακέ έτσι που, η μία πλευρά του, να “κολλάει” και στην έδρα της πυραμίδας. Στις άκρες του κόντρα-πλακέ, καρφώνω – απάνω στο καντρόνι – δύο τέρματα.
• Αλφαδιάζω το κόντρα-πλακέ στηρίζοντάς το επάνω σε ένα “τακάκι” ή, ένα “πασσαλάκι” που το έχω μπήξει στο έδαφος. Το “πασσαλάκι” θα έρχεται έξω-έξω, “πρόσωπο” με την πλευρά του κόντρα-πλακέ που είναι απέναντι από εκείνη που ακουμπάει στην έδρα ΑΒΚ της πυραμίδας.
• Στο σημείο που, το κόντρα-πλακέ, ακουμπάει στο πασσαλάκι (και προς τη μία ακμή του πασάλλου), του καρφώνω ένα καρφί.»

        Χμμμ, με την διήγηση λησμόνησα να κάνω και ένα σχήμα...:»

189η εικών:
Ένα αλφαδιασμένο (οριζόντιο) κόντρα-πλακέ
δυνάμενο να περιστραφεί προς τα άνω.

        Μόλις, ο “μικρός” είδε το σχήμα του, είπε:
        «Τώρα, μπορώ να γυρίσω το κόντρα-πλακέ, με “μεντεσέ” το καδρόνι μέχρι που να “ξαπλώσει” επάνω στην έδρα της πυραμίδας. Τα τέρματα που έχω καρφώσει στο καντρόνι, δεν το αφήνουν να “κάνει” δεξιά-αριστερά.)
        Κατόπιν, θα μετρήσω την απόσταση, α, από το καρφί μέχρι το πασσαλάκι”. Αυτό, μπορώ να το κάνω με μιά ίσια τάβλα.
        Κατόπιν, μπορώ να φτιάξω ένα ισοσκελές τρίγωνο που, η βάση του, θα είναι η α και οι ίσες πλευρές του θα είναι ίσες με το φάρδος του κόντρα-πλακέ.»
        ...
        Όταν ο “μικρός” τελείωσε τον ερώτησα, “πονηρά”:
        «Το κόντρα-πλακέ, δεν έχει πάχος;»
        Αντελήφθη ότι, αφού δεν ερωτούσα κάτι τόσο απλό, θα ήθελα να μάθω κάτι πιο σύνθετο:
        «Μάστορα, έχεις δίκιο:
        Αφού μιλάω για ακρίβεια, θά 'πρεπε να το είχα προσέξει:
        Ας κάνω μία τομή του σχήματος...
        Και ας πούμε ότι, το κόντρα-πλακέ, έχει πολύ μικρό φάρδος:»
        Έκαμε με μεγάλη ακρίβεια το σχήμα που ακολουθεί:

190η εικών:
Το προς κατασκευήν τρίγωνο
είναι το γραμμοσκιασμένο.

        Όταν το τελείωσε, είπε
        «Οι πλευρές του τριγώνου που πρέπει να φτιάξω (εκτός από την α), είναι μειωμένες... αλλά, μπορώ να μετρήσω το πόσο...»
        Εδώ, του έθεσα μία τελευταία ( “φυλαγμένη”) ερώτηση :
        «Ο Θαλής, εγνώριζε το κόντρα-πλακέ;»
        «Δεν ξέρω», απήντησε, «αν, εκείνη τη εποχή, μπορούσαν να φτιάχνουν “πάνελ”. Αλλά, ο Θαλής, αντί του κόντρα-πλακέ, θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει το τρίγωνό του (αυτό που έχεις φτιάξει, εσύ). Και θα ήταν και καλλίτερα,... για δύο λόγους:

• Ένα τρίγωνο δεν μπορεί να είναι “πέτσικο” (εκτός και αν, τα καντρόνια με τα οποία έχει φτιαχτεί, είναι στραβά).
• Ένα τρίγωνο, μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερο από ένα κόντρα-πλακέ. Άρα, ο Θαλής, πετυχαίνει μεγαλύτερη ακρίβεια.

        Λοιπόν, χρησιμοποίησε αυτό.»
        «Βλέπω», συνεπέρανα, «ότι, κι´ εσύ, επικοινωνείς με το πνεύμα του Θαλή...»
        Αφού εβεβαιώθην ότι ενεθυμήθη την “μπηχτή” του, συνέχισα:
        Αλλά, εξήγησέ μου γιατί, ένα τρίγωνο, δεν μπορεί να είναι “πέτσικο”;»
        Δυσκολεύτηκε περισσότερο απ΄ ό,τι φανταζόμουν διά να μου απαντήσει...
        Εν τέλει όμως, τα κατάφερε:
        «Όταν λέμε «πέτσικο», τί εννοούμε: –Ότι δεν ταιριάζει επάνω σε ένα επίπεδο... Έ, το τρίγωνο, που έχει τρεις κορυφές, πάντα ταιριάζει σε ένα επίπεδο – αρκεί, οι πλευρές του να μην είναι στραβές.»
        ...
        Κατόπιν όλων αυτών, δεν ανεζήτησα ευκολοτέρα λύσιν...
        Ανεζήτησα όμως κάτι άλλο – αυτό που θα δούμε εις το επόμενο κεφάλαιο:

 

Συνεχίζεται, εδώ...