30. Η λύσις διά μίας στοχεύσεως.
Όταν ολοκλήρωσα την απόδειξη του προηγουμένου κεφαλαίου, ήμουν, βεβαίως, πολύ ευχαριστημένος. Ή, διά να ακριβολογήσω: θα έπρεπε να ήμουν... Όμως, κάποια υποψία είχε γεννηθεί εις τον νουν μου και, λίγο-λίγο, τον κατέκλεισε:
«Μήπως υπάρχει κάποια λύση πιο απλή (πιο εύκολη, πιο όμορφη, πιο “κομψή” κτλ).»
Εάν υπήρχε κάποια τοιαύτη λύση, είναι προφανές ότι, ο Θαλής, δεν θα είχε επιλέξει αυτήν που περιέγραψα. Άρα, η περιγραφή μου, εάν εγένετο πιστευτή, θα έδιδε μία εικόνα του Θαλού, χειρότερη από την πραγματική, ήτοι, θα συνιστούσε ένα ...συκοφαντικό ισχυρισμό εναντίον του...:
«–Έ, όχι και “να τον πάρω και στο λαιμό μου”...» (είπα έντονα) «...και να ομοιάσω προς εκείνους που μέμφομαι» (είπα εντονότερα).
Η εύρεση μίας λύσεως ευκολοτέρας, υπήρξε ...δυσκολοτέρα απ΄ ό,τι φανταζόμουν...
Ας δούμε την όλη ιστορία:
Η επανάληψη της αυτής διαδικασίας που απαιτεί η μέθοδος που περιέγραψα (διά την εύρεση του σημείου Τδ), δεν μου είχε κάμει “καλή εντύπωση”. Είχα, μάλιστα, σκεφθεί τον ενδεχόμενο υπολογισμό του ύψους διά μίας μόνον στοχεύσεως... Εκείνη τη στιγμή όμως, δεν είχα την ψυχραιμία να το εξετάσω διότι, “με έτρωγε η αγωνία” να βρω ...μια, κάποια, λύση. Έτσι, κατευθύνθηκα προς εκείνη την λύση που προέβλεπα ότι ...θα “φτουρήσει”, καθόσον, ήδη, εγνώριζα την μέθοδο μέτρησης της αποστάσεως ενός πλοίου από την ακτή.
Όταν, η λύση αυτή, είχε ήδη πραγματοποιηθεί, καθυσήχασα και μπόρεσα να επανέλθω:
Ιδού:
Ο Θαλής, μπορεί να εύρει το σημείο Ε, τομή της “περασιάς” ΤΤσ, μετά της (προς το μέρος του) έδρας της πυραμίδος, ΑΒΚ.
Θεωρώντας το τρίγωνο ΤΕΚ παρατηρεί ότι, τα μόνα γνωστά στοιχεία του, είναι η ΤΕ και η γωνία ΚΤΕ. Σκέπτεται πως αν εύρισκε την γωνία ΤΕΚ, το τρίγωνο αυτό, θα ήταν κατασκευάσιμο (εκ της πλευράς ΤΕ και των γωνιών ΚΤΕ και ΤΕΚ – Παραδοχή: Α, 3η).
Αλλ´, η κατεύθυνση της ΕΚ δεν μπορεί να ευρεθεί, όπως ευρέθη η κατεύθυνση της ΤΚ (προηγούμενο κεφάλαιο): Όχι μόνον διότι, η κορυφή, Κ, της πυραμίδος είναι απροσπέλαστη (πού... να σκαρφαλώνει εκεί επάνω) αλλ΄, επειδή είναι και αόρατη από του Ε.
176η εικών:
Πρέπει να ευρεθεί η διεύθυνση της ευθείας ΤΚ,
εν όσω, το Κ, δεν φαίνεται από του Τ.
Περί της ΕΚ γνωρίζει ότι κείται εις το αυτό επίπεδο μετά των ΤΗΤ και ΣΗΣ, το το οποίο είναι κατακόρυφο, διότι, οι ΤΗΤ και ΣΗΣ, έχουν κατασκευασθεί με το ζύγι (προηγούμενο κεφάλαιο).
Εις το αυτό επίπεδο κείται τόσο το ύψος, υ, της πυραμίδος όσο και η ΤΤυ όπου, Τυ, η τομή της ΤΤσ με το υ.
Ο Θαλής δύναται, ευκόλως να ορίσει την ευθεία ΕΚ:
Αρκεί να ορίσει επί της έδρας ΑΒΚ το σημείο Ε΄ (επόμενο σχήμα), εκεί όπου την τέμνει η “περασιά” ΗΤΗΣ (ή, μάλλον, μία “περασιά”, λίγο υψηλότερα, ώστε να αλφαδιάζεται ευκόλως).
Τα σημεία Ε΄, Ε και Κ κείνται επ΄ ευθείας: της τομής των επιπέδων (ΤΕΚ) και (ΑΒΚ). Άρα, η Ε΄Ε είναι η ζητουμένη ΕΚ.
Τώρα, το τρίγωνο ΤΕΚ κατασκευάζεται (από την βάση ΤΕ και τις προσκείμενες γωνίες ΚΤΕ και ΚΕΤ). Το δε ύψος της πυραμίδος ισούται προς το άθροισμα του ύψους του τριγώνου ΤΕΚ συν το ΤΗΤ.
177η εικών:
Εάν η Ε΄Ε ήταν “αξιόπιστη”, τότε, η μία και μοναδική στόχευση
που αρκεί δια τον υπολογισμό του ύψους, της πυραμίδος,
θα μπορούσε να ήταν ή εικονιζομένη.
Ο Θαλής όμως, ως μάστορας, δεν “εμπιστεύεται” την Ε΄Ε διότι:
- Θα είναι κακοφτιαγμένη: Η έδρα της πυραμίδος δεν είναι σχεδιαστήριο. Αυτό σχετίζεται προς το ότι, η Ε΄Ε, είναι:
- Πολύ μικρού μήκους: Φτιαγμένη από δύο “αλφαδιασμένες περασιές”, με ελάχιστη διαφορά ύψους. Αυτό, εν συνδυασμώ προς το μεγάλο ύψος της πυραμίδος, προκαλεί μέγιστο υπολογιστικό σφάλμα.
Σημείωση:
Είναι γνωστό ότι ουδείς εκ των συγχρόνων μαθηματικών (και όχι μόνον), θα συνεμερίζετο τους ενδιασμούς του Θαλού:
«Αφού ορίστηκε η Ε΄Ε επί (του επιπέδου) της έδρας της πυραμίδας... τελείωσε: Είναι ορισμένη...»
(Θα) υπάρχουν, βεβαίως, και αναγνώστες που σκέπτονται παρομοίως. Αυτοί μπορούν να μεταβούν εις το επόμενο κεφάλαιο αποφεύγοντας πολλούς κόπους. (Η, εκείθεν, περαιτέρω ανάγνωσή τους δεν θα παραβλαφθεί.)
Εν τω μεταξύ, ο Θαλής, έχει πέσει σε ...βαρειές σκέψεις:
«Ναι μεν η ΕΚ θα κείται επί του κατακορύφου επιπέδου που διέρχεται δια της ΤΚ αλλά, αυτή η ΕΚ, είναι πολύ “άβολη”...», λέγει.
Ανερωτάται, μήπως υπάρχει σημείο “Ε” επί της έδρας ΑΒΚ, τέτοιο ώστε, η ΕΚ να είναι “βολικότερη”.
Δεν δυσκολεύεται να το ανακαλύψει (ή, να το ενθυμηθεί):
Όλα, τα “βολικά” “Ε”, κείνται επί της μεσοκαθέτου, μα, της ΑΒ.
Η μα διέρχεται, προφανώς, από το Κ και, τόσο η κατασκευή της, όσο και η εύρεση της γωνίας που σχηματίζει μετά της ΤΕ, δεν παρουσιάζουν την παραμικρή δυσκολία... Χμμμ...:
–Όσο και αν τονίζουμε την απουσία δυσκολίας, θα διαψευδόμεθα, εκτός και αν, το έδαφος, είναι απολύτως επίπεδο και οριζόντιο (ή, έστω, παράλληλο προς μία πλευρά της βάσεως της πυραμίδος). Αυτήν την προϋπόθεση (και άλλες, παρόμοιες) “δικαιούνται” να θεωρούν ως ...“αυτονόητη”, οι πολλοί και ποικίλοι “μελετητές” του Θαλού – όχι όμως, και ο ίδιος... (μάστορας ων):
Ο Θαλής γνωρίζει πως, εάν το έδαφος είναι (έστω και ελάχιστα) επικλινές, τότε, η μεσοκάθετος που θα ορίσει, θα ...“αχθεί προς βρούβας”. (Και, ...πού να ευρεθούν, οι βρούβες, εις την Γκίζαν;)
Πιο συγκεκριμένα:
Ας θεωρήσουμε μία παράπλευρο έδρα της πυραμίδος, την ΑΒΚ.
Εάν το σημείο Α είναι “θαμμένο”, τότε, εκείνο που, ο Θαλής, θα βλέπει ως “Α”, θα είναι ένα άλλο, το Α1, υψηλότερα του Α.
Η μεσοκάθετος του Α1Β, η κειμένη επί της έδρας ΑΒΚ, δεν θα διέρχεται διά της κορυφής, Κ, της πυραμίδος διότι το τρίγωνο Α1ΒΚ δεν είναι ισοσκελές. Το αυτό, βεβαίως συμβαίνει και διά την οριζόντια μεσοκάθετο της Α1Β, καθόσον, το Α1, είναι όχι μόνον υψηλότερα του Α αλλά, και πλησιέστερα προς το ύψος της πυραμίδος. Εν γένει δεν υπάρχει μεσοκάθετος της Α1Β, που να είναι και μεσοκάθετος της ΑΒ και ούτε, καν, κάθετος προς αυτήν, δηλαδή, ορθογώνιος (κειμένη επί επιπέδου καθέτου προς την ΑΒ).
Ο Θαλής μπορεί, βεβαίως, να θεωρήσει την ευθεία, (ε1), διά του Α1 οριζόντια και το σημείο Β1, εις το οποίο τέμνει την ακμή ΒΚ.
Μπορεί να θεωρήσει και την μεσοκάθετό της Α1Β1 αλλά,... μόνον να την «θεωρήσει» – όχι και να την κατασκευάσει (ευκόλως), διότι, το μέσον αυτής μπορεί “να έχει πάει πολύ ψηλά”. (Ας μη λησμονούμε ότι η πλευρά της βάσης της πυραμίδος είναι 1/4 του χιλιομέτρου.)
Το ορατό μέρος μίας κανονικής πυραμίδος της οποίας,
η βάση έχει “θαφτεί” εν μέρει εντός μη οριζοντίου εδάφους,
δεν είναι κανονική πυραμίς.
Εάν το ένα άκρο της Α2Β2 είναι θαμμένο, τότε, το μέσον και η μεσοκάθετός της παρουσιάζουν μεγάλες δυσκολίες κατασκευής.
...
Εν τέλει, ο Θαλής, σκέπτεται:
«Αφού δεν μπορώ να φτιάξω την μεσοκάθετο της Α2Β2, ας φτιάξω μία “σκέτη” κάθετο αυτής ...και βλέπουμε.»
Σχόλιο:
Αυτό, το «...και βλέπουμε», που είπε ο Θαλής, δεν σημαίνει κάποια αναβολή με ταυτόχρονη εναπόθεση της ελπίδας εις την καλή τύχη. Κάθε άλλο:
Ο Θαλής γνωρίζει πως όταν έχει μία ευθεία (α), μπορεί να την “μεταφέρει” παραλλήλως προς εαυτήν, ούτως ώστε να διέλθει δι΄ ενός συγκεκριμένου σημείου Ζ.
Εν προκειμένω, η ευθεία (α), θα είναι μία τυχούσα κάθετος επί την ΑΒ και, το Ζ , θα είναι ένα σημείο της μεσοκαθέτου της ΑΒ το οποίο δεν μπορεί μεν να το εύρει επί της ΑΒ, αλλά (ίσως) μπορεί να το εύρει στοχεύοντας την ΑΒ από μακρυά.
Περισσότερα πράγματα δεν μπορούσε να προγραμματίσει ή, μάλλον, ...εγώ δεν μπορώ να φανταστώ το πώς θα μπορούσε να έχει προγραμματίσει εξ αρχής, όλα αυτά που θα επακολουθήσουν.
Ας δούμε, λοιπόν, πως ενεργεί:
Εφόσον, ο Θαλής, έχει, ήδη, παραιτηθεί από την κατασκευή της μεσοκαθέτου, παύει να αναζητεί (ή, να αρκείται εις) κάποια οριζόντια ευθεία, επί της έδρας ΑΒΚ, η οποία να είναι «κοντά στο έδαφος» και την αναζητεί επί του εδάφους:
Ευρίσκει μία περιοχή της βάσεως της πυραμίδος που να είναι, σχεδόν, “αλφαδιαμένη” και την ...τελειοποιεί (την “στρώνει”).
Επίσης, κατασκευάζει ένα τυχόν (π.χ., ισόπλευρο), ξύλινο τρίγωνο, το ΛΝΜ και υλοποιεί το ύψος του, ΛΗλ, διά μίας ευθείας τάβλας.
“Ξαπλώνει” το τρίγωνο ΛΜΝ επί του εδάφους κατά τρόπον ώστε η βάση του, ΜΝ, να είναι οριζοντία και εν επαφή προς την έδρα, ΑΒΚ, της πυραμίδος.
Προφανώς, η ΜΝ είναι παράλληλος προς την πλευρά ΑΒ της βάσεως της πυραμίδος.
Επομένως, το ύψος ΛΗλ, του τριγώνου ως κάθετο επί την ΜΝ θα είναι κάθετο (ορθογώνιο) και προς την ΑΒ.
179η εικών:
Εάν τα Μ και Ν (επί της έδρας ΑΒΚ)
ευρίσκονται εις την αυτή αλφαδιά, τότε,
η ΛΗλ είναι κάθετος (ορθογώνιος) προς την ΑΒ.
“Τραβάει μία περασιά” διά των σημείων Ηλ και Λ (π.χ. διά του “ράμματος”) και επί ενός τυχόντος σημείου, επί της “περασιάς” ΗλΛ, εμπηγνύει ένα κατακόρυφο καδρόνι, το ρ.
Από ενός σημείου Ρ, του καδρονίου ρ, στοχεύει δύο σημεία, Α3 και Β3, επί των ακμών ΑΚ και ΒΚ αντιστοίχως, ευρισκόμενα επί της αυτής αλφαδιάς. Αυτό το επιτυγχάνει στοχεύοντας, ταυτοχρόνως, μία ακμή της πυραμίδος και μία ακμή μίας τάβλας, οριζοντίου και ορθογωνίου προς την ΗλΛ, ήτοι, παραλλήλου προς την ΑΒ.
Το ένα εκ των σημείων Α3 και Β3, έστω το Α3, φροντίζει να ευρίσκεται πλησίον του εδάφους ώστε να μπορεί να μετρήσει την απόστασή του από το Ρ. Η Α3Β3 είναι, βεβαίως, παράλληλη προς την πλευρά ΑΒ της βάσεως της πυραμίδος.
Έστω επί του επιπέδου Α3Β3Ρ μία ορθογώνιος προς την ΗλΡ και έστω, Α4 και Β4, οι τομές της με τις ευθείες ΡΑ3 και ΡΒ3, αντιστοίχως.
180η εικών:
Εκ των ομοίων τριγώνων Α3Β3Ρ και Α4Β4Ρ προκύπτει ότι,
η μεσοκάθετος της Α3Β3 απέχει από
το (γνωστό) ύψος του τριγώνου Α3Β3Ρ,
μία απόσταση π3, η οποία υπολογίζεται από
την (γνωστή) απόσταση, π4, που απέχει
η (γνωστή) μεσοκάθετος
της πλευράς Α4Β4 του τριγώνου Α4Β4Ρ, από
το (γνωστό) ύψος αυτού.
Η Α4Β4 είναι προφανώς παράλληλος της ΜΝ ήτοι, παράλληλος της ΑΒ. Επομένως, η Α4Β4, είναι και παράλληλος της Α3Β3.
Άρα, τα τρίγωνα Α3ΤΒ3 και Α4ΤΒ4 είναι όμοια και έστω:
ΤΑ3/ΤΑ4 = λ.
Η μεσοκάθετος της πλευράς Α3Β3, του τριγώνου Α3ΡΒ3 απέχει από το, διά του Ρ, ύψος του , απόσταση π3. Αυτήν πρέπει να την εύρει.
Η μεσοκάθετος της πλευράς Α4Β4, του τριγώνου Α4ΡΒ4 απέχει από το, διά του Ρ, ύψος του, απόσταση π4. Αυτήν, την γνωρίζει (εκ της κατασκευής του τριγώνου Α4ΡΒ4), οπότε, έχομε:
π3 = λ·π4.
Εάν τοποθετήσει, ένα κατακόρυφο καδρόνι, σε απόσταση π3 εκ της ΗλΡ, αυτό (δηλαδή, μία κατάλληλη ακμή του), θα ευρίσκεται επί της μεσοκαθέτου της Α4Β4, οπότε, και επί της μεσοκαθέτου της ΑΒ.
Αν το καδρόνι αυτό είναι το “σ” του προηγουμένου κεφαλαίου (βλέπε επόμενο σχήμα), τότε, η ΤΕ που εξετάσαμε εις την αρχή του παρόντος, θα είναι ...εντελώς «βολική» (όπως την θέλει ο Θαλής).
181η εικών:
Η ΤΕ κείται επί του μεσοκαθέτου επιπέδου της ΑΒ διότι
τα (εκ κατασκευής, κατακόρυφα) καδρόνια τ και σ, κείνται επ΄ αυτού.
Η ΕΚ κείται, επίσης, επί του αυτού επιπέδου διότι,
τόσον το Ε όσον και το Κ κείνται επ΄ αυτού.
- Την γωνία ΤΕΚ.
- Την γωνία ΚΤΕ (έστω, τ).
- Την πλευρά ΤΕ.
...
Βεβαίως, ο Θαλής, δεν μπορεί να “τραβήξει ράμμα” από την κορυφή Κ, της πυραμίδος, καθόσον, αυτή, εκτός του ότι είναι απρόσιτη είναι και ανύπαρκτη (αφού, όπως αναφέραμε, ήδη, ...έχει “πονιτικοφαγωθεί”).
Όμως μπορεί να κάμει κάτι άλλο: Κάτι περί του οποίου – όπως φαίνεται, τώρα – είχε κάμει την σχετική πρόβλεψη:
Αφού η ΕΚ είναι η μεσοκάθετος της ΑΒ, η κειμένη επί της έδρας ΑΒΚ και δοθέντος ότι το σημείο Ε αυτής είναι γνωστό, το μόνο που έχει να κάμει ο Θαλής, είναι να κατασκευάσει μία υλική ευθεία η οποία να διέρχεται διά το Ε και να είναι κάθετος επί την ΑΒ.
Έ, παίρνει το γνωστό υλικό τρίγωνο, το “ξαπλώνει” επί της έδρας ΑΒΚ της πυραμίδος, κατά τρόπον ώστε η βάση του ΜΝ να ευρίσκεται επί ενός αλφαδιαδμένου καδρονιού, ε, κειμένου επί της έδρας ΑΒΚ και, μάλιστα, όσο το δυνατόν χαμηλότερα (ει δυνατόν να εκουμπάει στο έδαφος) .
Εν συνεχεία, ολισθαίνει το τρίγωνο ΛΜΝ επί του ε έως ότου, το υλοποιημένο ύψος του, το ΛΗλ, να διέλθει διά του Ε.
Όταν συμβεί αυτό, η γωνία ΤΕΚ θα είναι μετρήσιμη... αν και όχι ευκόλως, διότι το Ε είναι σε κάποιο ύψος (αυτό, των οφθαλμών του) και κείται επί της κεκλειμένης έδρας, ΑΒΚ, της πυραμίδος.
Ευκολοτέρα είναι η μέτρηση της γωνίας ΗΤΗαΚ όπου, Ηα, είναι το σημείο εις το οποίο η περασιά, ΗΤΗΣ, τέμνει την πλευρά ΑΒ της βάσεως της πυραμίδος. (Είναι δε και ο πους του ύψους, ΚΗα, του ύψους της έδρας ΑΒΚ.) Η ΗΤΗΣ είναι παράλληλος της ΤΕ, κειμένη επί του εδάφους (ή, πολύ “κοντά” εις αυτό – εάν δεν είναι οριζόντιο).
182α εικών:
Η μέτρηση της γωνίας ΤΕΚ καθιστά δυνατή
την κατασκευή του τριγώνου ΤΕΚ.
Η μέτρηση της γωνίας ΤΕΚ καθιστά δυνατή
την κατασκευή του τριγώνου ΤΕΚ.
183η εικών:
Το τρίγωνο ΤΕΚ είναι κατασκευάσιμο, διότι γνωρίζουμε
την ΤΕ και τις γωνίες ΚΤΕ και ΤΕΚ (Παραδοχή: Α, 3η).
Κατασκευασθέντος του ΤΕΚ λαμβάνουμε το ύψος, ΚΤυ, αυτού.
Το υ = ΚΤυ+τ, είναι το ύψος της πυραμίδος.
Εν όσω, ο Θαλής, “δούλευε” το σχέδιο που δείξαμε, τον “κτυπούσε” ο ήλιος εκ των νότων. Παρετήρησε δε ότι, η σκιά του, έπεφτε, “κάπως”, παραλλήλως προς την “περασιά” ΗΤΗΣ.
«Πω, πω», κάμνει, «πήγε κιόλας μεσημέρι...»
Προσέχει καλλίτερα και διαπιστώνει, ότι εάν έμενε ευθυτενής και με τα πέλματά του συμμετρικά ως προς την ΗΤΗΣ, τότε, ο άξων συμμετρίας της σκιάς του ταυτιζόταν με αυτήν την “περασιά”.
«Σωστό μεσημέρι», συμπεραίνει (αφού εγνώριζε τα σχετικά με τον προσανατολισμό της πυραμίδος κτλ.).
Και εφόσον ο υπολογισμός είχε ολοκληρωθεί, είπε:
«Η δουλειά, λοιπόν, έγινε... Ας τα μαζεύω...»
Ε, αυτή την σκηνή έτυχε να δει και, αυτά τα λόγια έτυχε να ακούσει κάποιος αδαής περαστικός και, έπειτα, διέδωσε ότι, δήθεν, ο Θαλής έκαμε την μέτρηση του ύψους κοιτάζοντας την σκιά του το μεσημέρι...
No comments:
Post a Comment